1、浅谈数列极限的证明与计算方法【】本文将对数学分析中数列极限的证明与计算的常用方法作归纳和总结。主要方法有：定义法、两边夹定理、单调有界数列审敛法、定积分法、中值定理法、Stolz公式法、级数展开法、定积分中值定理法。数列极限的证明与计算可以采用不同的方法，每种方法都有一定的适应性，并有一定的规律可循，本文通过研究数列极限的证明与计算的方法并结合具体的例子进行分析，从而到达灵活运用这些方法的目的。【关键词】数列极限；证明；计算；中值定理；泰勒展开式；两边夹定理1. 引言数列是数学分析的重要内容，它在数学的许多领域中扮演着重要的角色。数列极限的证明与计算就是要证明与计算所给的数列在题目给定的条件下
2、的极限。由于数列的类型多种多样，有些数列极限的证明和计算比拟复杂，仅靠一种方法是不够的，需要掌握各种数列极限的证明和计算的方法和技巧，根据所给的条件，巧妙的利用数列的各种特性，经过运算和证明，从而快速有效地解决问题。由于数列极限是数学分析中的一种重要工具，因此数列极限的证明非常重要。本文归纳出证明和计算数列极限的方法，主要方法有：定义法，两边夹定理，单调有界数列审敛法，定积分法，中值定理，Stolz公式法，级数展开法，定积分中值定理法，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。2. 数列极限证明与计算的常用方法求函数极限是微积分的一大难点,又是一大重点,求函数极限包含很多知识点,有很多技巧,教学中
3、可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。数列极限的证明与计算问题，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中表达，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握所求数列的特性和一些根本方法。主要方法有定义法，两边夹定理，单调有界数列审敛法，定积分法，中值定理，Stolz公式法，级数展开法，定积分中值定理法，下面结合具体例题来探究数列极限的证明方法。直接用定义证明极限数列定义:设有数列
4、，为常数，假设对任意,总存在正整数,对任意的正整数有，那么称数列的极限是，用逻辑符号可以表示为: ，有。当题目已给出一个数列的极限时，我们经常采用定义法证明数列极限，在证明过程中经常结合放大法或用的不等式，以及结合收敛数列的性质来证明未知数列的的极限。例21证明假设那么.分析：题目中给出了数列的极限，因而我们可以采用定义法证明。证明 ，即，有，由不等式，从而有：，所以，有.即：.两边夹法两边夹定理也称迫敛性法那么，设有三个数列，假设，有，且，那么。当极限不容易直接求出或者证明时，我们可以将所求的极限作适当的放大和缩小，使所得两个新极限为的或易于求出，且两极限值相等，那么原极限存在。例2求.分析
5、：由题目可知，要直接求出不容易，而且定义法求极限在这也不可行，这题可采用两边夹求极限，将所求极限式适当的放大和缩小使之转化为的极限或易于求出其极限的式子，进而求出极限。解： 设那么有又因为所以，又因为，所以，所以，根据两边夹定理有，所以.单调有界数列审敛法单调有界数列存在极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。我们通常根据所求数列的特征，估计其上下界，然后用数学归纳法证明数列单调性和有界性，证明其存在极限后，设数列的极限为，记，然后代入的数列表达式中，最后通过数列方程求解极限，求极限时注意根的取舍。运用这种方法求解数列极限只适合用于判别单调有界数列的收敛性，所以
6、具有局限性。例3假设，那么.分析:题目给出了数列的通项公式，所以我们可以采用单调有界数列审敛法来证明它存在极限。证明:显然有，设，有，即是单调增加的.又因为，设，即是有界的。因此存在，设，由得.两边取极限，得到从而，即,所以或.因为，有，即，所以应舍去。于是有，即.例4证明，收敛，并求出极限。分析：题目没有直接给出数列的通项公式，但从题目中我们可以得出数列的通项公式，我们可以采用单调有界数列审敛法，结合归纳法来证明该数列的有界性，进而证明数列收敛。证明：令个根方有，用数学归纳法证明，数列严格增加有上界显然，当时，有，假设，那么有，从而对一切的，有，即数列是有界的。由单调有界审敛法得，数列有极限
7、，记为，由于，运用数列极限的四那么运算法那么，令时，等式两边取极限，得有，即舍去，.所以有.定积分法定积分法就是将项数列等较复杂的形式转化为定积分的形式的简单形式计算。当题目中有出现等其他项结构的和或积的形式时，我们通常定积分法即将这些项和或积形式转化为定积分的形式计算。例5 .分析：这是求项数列和的极限，我们很难通过定义法，两边夹法去求出它的极限，因为很难求出数列的通项公式，所以我们采用定积分法，首先需要对原式进行变形，然后就能用定积分计算出其极限，将原式的分子分母同时除以转化为，这样就相当于求一个函数在区间上的积分和。解： .不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和这里所取的是等分分
8、割，所以.中值定理法中值定理法通常是利用拉格朗日中值定理，将题目原式转化为中值定理的形式，就能化复杂为容易。拉格朗日定理：假设函数满足以下条件：(1)在闭区间连续;(2) 在开区间可导；那么在开区间内至少存在一点，使.中值定理法通常适用于要被求的极限式子中有属于同一函数相减的情形，例如有这类的情形。例6求极限.其中，;分析：题目中出现了同一函数两式相减的情形，且在闭区间连续，在开区间可导，因此我们可以采用中值定理法。解：很明显，在闭区间连续，在开区间可导，所以，根据中值定理得存在一点使得，所以原式=,其中介于和之间。例设，求极限.分析：很明显在闭区间连续，在开区间可导，所以，根据中值定理得：存
9、在一点使得所以原式=，其中.2.6 Stolz公式法Stolz公式有两种类型：一类是型，另一类是型，即型：设数列严格单调递增，且,，那么.型：设数列，且严格单调递减,，那么.例7求极限.分析：此题是一道求解分式极限的题目，我们设，因为数列严格单调递增，且，很明显该题满足Stolz定理的型的条件，所以我们就采用Stolz法求解该题的极限。解：令，所以严格单调递增,且,根据Stolz公式得.例9假设求极限.分析：此题题目已经给出了数列的极限，求另一数列极限。从题目我们可知要求的是分式的极限，且分子的数列为严格单调递增，极限趋于无穷大，所求的分式满足Stolz定理的条件，因此解答这题我们可以采用St
10、olz法来求该极限。解：令，显然，所以是严格单调递增数列且由Stolz定理得：又因为所以所以.级数展开法级数展开法就是利用的初等函数的泰勒展开式中代入原式中化复杂的极限式为简单的极限式并求解极限。上述泰勒展开式称为的具有皮亚诺余项的阶麦克劳林展式。对某些较复杂的求极限问题，可利用麦克劳林展式加以解决。以下是常见的初等函数的展开式：；，通常在代入计算的过程中，我们会将这些初等函数的泰勒展开式简化为如下的形式代入.；.必须熟悉一些常用的展式，计算过程中，要注意高阶无穷小的运算及处理。例8求极限.分析：此题比拟复杂，我们可以采用函数的泰勒展开式来求解。解：由泰勒公式知：,令，得故.定积分中值定理法定
11、积分中值法就是利用定积分中值定理将所求极限的定积分式子转化为容易求的式子。中值定理：假设函数在闭区间连续，那么在上至少存在一点，使。中值定理法通常适用于所求极限为定积分结构的式子或者含定积分结构的式子，即题目中假设是要求含定积分结构的式子的极限的时候，我们通常采用定积分中值定理法来解答会更快更方便。例10求极限。分析：从题目中我们可以看到，题目中含有定积分结构，因此我们可以采用中值定理法来求解该题的极限。解：因为在区间上连续，由积分中值定理得：所以至少存在一点使得，.3.结束语本文是关于数列极限的证明与计算方法的探讨，通过对数列极限的证明与计算方法的归纳可以更好的掌握数列的极限证明和计算方法，
12、并且针对不同的数列能够采取不同的证明和计算方法，从而更加简洁，更加合理的证明与计算数列极限。有些数列极限的证明与计算方法不是固定的，它可以通过不止一种方法来证明和计算，解题时应通过观察题目结构和类型，选用一种最简捷的方法来解题。参考文献1 刘玉琏.数学分析讲义上册M.北京高等教育出版社，2023，182-183.2 李素峰.求数列极限的几种方法J.邢台学院学报,2023,22(2):92-93.3 孟庆贤.关于数列极限的证明方法J.承德民族师专学报，1999,(2)：40-43.4 吴云飞,裴亚萍.数列极限计算的方法与技巧J.宁波职业技术学院学报, 2023, 2(1):91-92.5 康彩萍
13、.浅谈求函数极限的方法J.科技创新导报,2023：160.6 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法第2版.北京高等教育出版社，182-184.7 覃智高.求数列极限的几种方法J.铜仁学院学报, 2023,1:48-51.8 董桂英,张静.数列极限的解题方法J.承德职业学院学报,2023(3):29-30.9 高惠,许景彦.求数列极限及级数和的几个特殊方法J.石家庄职业技术学院学报,19(2):62-64.10 周林.高等数学中数列极限的几种求法J.湖北播送电视大学学报,2023,2811:159-160 11 刘俊先.含有 n!的数列极限问题的解题方法J.襄樊职业技术学院学报, 2023,9(2
14、):26-27.12 刘广应.许飞,计算极限的方法小结J.四川教育学院学报,2023,22(1):95-96.13 李天荣.例谈求极限的方法J. 临沧师范离等专科学校学报, 2023,20(l):121-125.14 何蜀新,数列极限常见题型及其解法J,兵团教育学院学报,2023,16(5):34-35.15 叶忠国.求极限常用的方法 J. 襄樊职业技术学院学报,2023,64:19-24.Research on proving and calculating limits of sequencesMajor in Information and Computational Science C
15、ollege of Mathematics and Computer Science【Abstract】This paper summarizes the methods of proving and calculating limits of sequences and mainly introduces some methods including finding limit using definition, squeeze theorem, monotone convergence theorem, definite integral method, differential mean valu
