1、数学建模课程论文题目：血样的分组检验1姓名： 学号：2姓名： 学号：3姓名： 学号：血样的分组检验摘要本文主要为了解决减少血样检验次数这个实际问题,为了在人群中(数量很大, 基本上是健康人)找出某种病毒的感染者,为减少检验次数,通常采用筛选的办法：即假设人群总数为, 将人群分成组,每组的人数为,将每组的份血样混在一起进行化验, 若化验结果呈阳性,则需要对该组的每个人重新进行化验, 以确定谁是病毒感染者;若化验结果呈阴性, 则表明该组全体成员均为阴性,不需要重新化验。通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数,阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均值,从而得到平均总检验次数,最后通过
2、一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数的一元函数 ,求解得;通过计算,当时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分组,建立一个关于,的二元函数,再通过求导得稳定点函数。关键字：化验次数 非线性规划 数学期望 最佳分组人数1问题提出在一个很大的人群中通过血样检验普查某种疾病，假定血液为阳性的先验概率为（通常很小）。为减少检验次数，将人群分组，一组人的血样混合在一起化验。当某组混合血样呈阴性时，既可不检验判定该组每个人的血样都为阴性；而当某组的混合血样呈阳性时，即可判定该组至少有一人血样为阳性，于是需要对这组的每个人再做检验。（1） 当固定时（如0.01%，0.1%，1%，）
3、如何分组，即多少人一组，可使平均检验次数最少。（2） 当多大时不应分组检验。（3） 当固定时如何进行二次分组（即把混合血样为阳性的组在分成小组检验，重复一次分组时的程序）。（4） 讨论其他分组方式，如二分法（人群一分为二，阳性组一分为二，继续下去），三分法等。2基本假设结合本问题的实际情况，对该模型作出如下合理的假设： 1.人群数量总数为人,是确定的；2.假设在血样检验之前，确定的已知先验阳性的概率是确定的常数；3.每个人检验一次是否阳性的概率相互独立，即每个人接受检验是互相独立事件，互不影响；4.每次分组时都能达到平均分配，能分成组，即，为正整数。3符号说明 ：检验人群总数 ：阳性的先验概率
4、 ：被分成的组数 ：每组人数 ：第二次分组的组数 ：第二次分组每组人数 ：第一次分组每人的化验次数 ：第二次分组每人的化验次数 : 在二次分组检验模型中，第一次分组时，小组为阳性的概率 : 在二次分组检验模型中，第二次分组时，小组为阳性的概率 ：第一次分组的平均每个人化验次数的数学期望 ：第二次分组平均每个人化验次数的数学期望 4问题分析4.1问题一分析人群总数为，分组，每组人数。阳性的先验概率为 p，则阴性的先验概率为。如果不分组，则每个人需要化验1次。如果分组，当某组化验结果是阴性，则不需要再进行化验，该组平均每个人的化验次数为，概率为；当某组化验结果是阳性时，则需要对该组每个人进行化验，
5、该组平均每个人的化验次数为，概率为，因此，需要分组的条件是第一次分组化验次数的数学期望小于1。要求化验次数的数学期望的最小值，就是要求在满足数学期望小于1的情况下的每组人数。4.2问题二分析不应分组的条件就是要求阳性的先验概率多大时，使得分组后平均每个人化验次数的数学期望大于不分组时平均每个人化验次数。4.3问题三分析问题三是在第一次分组化验的基础上再次分组化验的问题。对于第一次分组化验为阳性的组，重新分为组，每组人。以二次分组时每个人的平均检验次数为目标，建立非线性规划模型，取不同的，求出第一次分组的最佳分组人数和第二次分组的最佳分组人数。4.4问题四分析我们可以多次应用一次分组法对问题进行
6、分析，找到了多次分组的求解方法。通过上述问题分析，我们得出：当值比较小得情况下，一次分分组比二次分组法效果好；多次分组法比二次分组法效果好。5模型的建立与求解利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道，如果不分组，每个人都参加检验，每个人平均需要检验一次；如果分组，分组后计算出每个人的平均检验次数小于1次，则认为分组比不分组好，需要分组，反之，则不需要分组。在众多组合的分组中，比较哪一种分组计算出来的每个人的平均检验次数最小，平均检验次数最小的那种分组则认为这种分组时最优的分组方案。5.1问题一模型建立与求解5.1.1模型的建立由问题一的分析得出一次分组每人的化验次数的分布规律为： 则一次
7、分组每人的化验次数的数学期望为：如何分组才能使每人化验次数最小，也就是求当阳性的先验概率固定时的每组人数为多少时，上式数学期望达到最小值，且必须小于1，其数学模型表达式为： 5.1.2模型求解 求解时，我们采用线性规划法求解。当阳性的先验概率固定时，我们把看作自变量，那么数学期望就是一个关于的函数，记作：由于在其定义区间上连续且可导，现在我们来求的最值，当的一阶导数等于0时，才可能取得最值。记的一阶导数为，的表达式为：现令=0，。设是方程的一个解，现在，只要给出一个概率值，算出与对应的值，在这里，最佳分组人数是正整数，所以当是整数时，最佳分组人数为，当不为整数时，取或者，比较，选取较小的为的最
8、优值，运用lingo软件编程（见附件1），来求最佳分组人数。我们选择在区间有代表性的选择值，得出、，结果见表1：表1 不同值下的最佳分组人数和平均每个人的检验次数0.000010.000030.000050.000080.00010.00050.00131718314211210145320.00630.01090.01410.01780.02000.04480.06280.0050.010.020.030.040.050.081511866540.13910.19560.27420.33370.38390.42620.5336p0.100.200.300.3060.3070.3080.443
9、333330.59390.82130.99030.99901.00051.00201.1173从表1可以看出，当，应当分组。5.2问题二模型建立与求解5.2.1模型的建立利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道，如果不分组，每个人都参加检验，每个人平均需要检验一次；如果分组，分组后计算出每个人的平均检验次数小于1次，则认为分组比不分组好，需要分组，反之，则不需要分组。在众多组合的分组中，平均检验次数最小的那种分组则认为这种分组时最优的分组方案。5.2.2模型求解不应分组的条件即要求阳性的先验概率多大时，使得分组后平均每个人化验次数的数学期望大于不分组时平均每个人化验次数。而随着 的增加，
10、E(X)变大。所以当时，不应分组检验。即，得。令， 则设 则对两边求对数有: ，对两边求导有：即 所以即 由此可以看出，当时，函数单调递减，而时（分组时每组至少要有2人，故有），函数单调递增，在时（自然对数），函数取得最大值，此时最大值,由于实际检验分组时每组的人数只能取整数，不可能取自然对数，故算出接近最大值的两个实际值：；所以， 的最大值为0.307，即只有当时，通过调整可以满足分组检验的约束条件而当时，无论怎么调整都不能满足分组检验的约束条件所以，当时，就不需要分组。5.3问题三模型建立与求解5.3.1模型的建立第一次分组化验：第一次分组组数为，所以第一次分组化验需要的化验次数为次 ，这
11、组中，化验出阳性的组数应为：组。下面，再给阳性组进行第二次分组化验：为了避免混淆，我们将第一次分组化验出阳性的组归为一类，以前每组的个人分为组，每组人，所以有。第二次化验：通过以上的分组方法，可以得到的总小组数为：组，故第二次化验需要的次数为：次。若第二次分组化验时，若检验出某组为阴性，表明该组全体成员全为阴性，不需要重新化验，如为阳性，需要对该组的每个人进行化验，以确定谁是病毒感染者。第二次化验后得到的阳性组数的期望值为：组，每组的人数为人。所以再需要的化验次数为：次。所以要进行两次分组，总共需要的化验次数为：又由于总人数，所以可得平均每人需要的化验次数数学模型为： 5.3.2模型求解用LI
12、NGO编程（具体程序见附件2）求出当在（0.00001，0.40）之间变化满足以上条件的最优解,下面给出几组有代表性、：表3 不同值下的最佳分组人数、和平均每个人的检验次数0.000010.000030.000050.000080.00010.00050.0014082181012428872122514531418113811010345290.49780.00110.00170.00240.00280.00920.01540.0050.010.020.030.040.050.0842241412101051412765550.05020.08390.13910.18550.22890.27
13、100.38440.100.200.300.3060.3070.3080.4633333333333330.44980.73410.98400.99851.00091.00331.2093根据上面的表3分析，当即可以进行二次分组，比一次分组的效果好，能够减小平均每个人的化验次数，减小化验费用，而当即，分组反而增加了平均每个人的化验次数，化验费用，不建议分组。5.4问题四模型建立与求解5.4.1模型建立对于多次分组的应用，由以上问题，我们可以看出：当预先给定的阳性概率较大时，不适合分组检验，或者说不适合多次分组检验，因此，我们在预先给定阳性概率值很小的情形下讨论。该问题主要是应用一次分组法，对其
14、反复应用，进而确定进行几次分组。由于在实际的血样检验中，由于多次分组的存在，每次分组前都会检验出部分阴性的血样来，所以，除了第一次分组以外，所有的分组前的阳性概率均会发生改变（会不断地增大），我们可以根据这个来分析多次分组的情况。5.4.2模型求解在第一次分组中： 由于阳性概率的值很小，所以需要分组，具体的分组情况还是根据使的值最小，找到合适的值，进而确定第一次分组的情况。在第二次分组中： 由于在一次分组中检验出部分阴性的血样，所以改变了剩余血样中阳性血样的概率。第一次分组检验中被检验出得阴性血样的平均值为：，在整个血样检验中阳性的血样总数平均值为：，在第一次血样检验后还剩余的血样总数：。 所以我们可以得到： 这样，我们需要对的值进行讨论，当接近或者超过0.306639时，我们不
