1、动量守恒定律及其应用一、动量守恒定律1动量守恒定律的内容一个系统不受外力或者受外力之和为零,这个系统的总动量保持不变。 即: 守恒是指整个过程任意时刻相等(时时相等,类比匀速) 定律适用于宏观和微观高速和低速2动量守恒定律成立的条件来源:Ks5u 系统不受外力或者所受外力之和为零;系统受外力,但外力远小于内力,可以忽略不计;系统在某一个方向上所受的合外力为零,那么该方向上动量守恒。3动量守恒定律的表达形式(1),即p1+p2=p1/+p2/,(2)p1+p2=0,p1= -p2来源:高考资源网4、理解:正方向同参同系微观和宏观都适用5动量守恒定律的重要意义从现代物理学的理论高度来认识,动量守恒
2、定律是物理学中最根本的普适原理之一。(另一个最根本的普适原理就是能量守恒定律。)从科学实践的角度来看,迄今为止,人们尚未发现动量守恒定律有任何例外。来源:高考资源网KS5U 5应用动量守恒定律解决问题的根本思路和一般方法(1)分析题意,明确研究对象.在分析相互作用的物体总动量是否守恒时,通常把这些被研究的物体总称为系统.来源:高考资源网(2)要对各阶段所选系统内的物体进行受力分析,弄清哪些是系统内部物体之间相互作用的内力,哪些是系统外物体对系统内物体作用的外力.在受力分析的根底上根据动量守恒定律条件,判断能否应用动量守恒。(3)明确所研究的相互作用过程,确定过程的始、末状态,即系统内各个物体的
3、初动量和末动量的量值或表达式。注意:在研究地面上物体间相互作用的过程时,各物体的速度均应取地球为参考系。(4)确定好正方向建立动量守恒方程求解。二、动量守恒定律的应用1碰撞A A B A B A Bv1vv1/v2/ 两个物体在极短时间内发生相互作用,这种情况称为碰撞。由于作用时间极短,一般都满足内力远大于外力,所以可以认为系统的动量守恒。碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。仔细分析一下碰撞的全过程:设光滑水平面上,质量为m1的物体A以速度v1向质量为m2的静止物体B运动,B的左端连有轻弹簧。在位置A、B刚好接触,弹簧开始被压缩,A开始减速,B开始加速;到位置A、B速度刚好相等(
4、设为v),弹簧被压缩到最短;再往后A、B开始远离,弹簧开始恢复原长,到位置弹簧刚好为原长,A、B分开,这时A、B的速度分别为。全过程系统动量一定是守恒的;而机械能是否守恒就要看弹簧的弹性如何了。(1)弹簧是完全弹性的。系统动能减少全部转化为弹性势能,状态系统动能最小而弹性势能最大;弹性势能减少全部转化为动能;因此、状态系统动能相等。这种碰撞叫做弹性碰撞。由动量守恒和能量守恒可以证明A、B的最终速度分别为:。(这个结论最好背下来,以后经常要用到。)来源:高考资源网KS5U (2)弹簧不是完全弹性的。系统动能减少,一局部转化为弹性势能,一局部转化为内能,状态系统动能仍和相同,弹性势能仍最大,但比小
5、;弹性势能减少,局部转化为动能,局部转化为内能;因为全过程系统动能有损失(一局部动能转化为内能)。这种碰撞叫非弹性碰撞。(3)弹簧完全没有弹性。系统动能减少全部转化为内能,状态系统动能仍和相同,但没有弹性势能;由于没有弹性,A、B不再分开,而是共同运动,不再有过程。这种碰撞叫完全非弹性碰撞。可以证明,A、B最终的共同速度为。在完全非弹性碰撞过程中,系统的动能损失最大,为:v1。来源:Ks5u 【例1】 质量为M的楔形物块上有圆弧轨道,静止在水平面上。质量为m的小球以速度v1向物块运动。不计一切摩擦,圆弧小于90且足够长。求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v。解析:系统水平方向动量守恒
6、,全过程机械能也守恒。小球上升过程中,由水平系统动量守恒得: 来源:高考资源网由系统机械能守恒得: 解得来源:Ks5u 来源:高考资源网全过程系统水平动量守恒,机械能守恒,得【例2】 动量分别为5kgm/s和6kgm/s的小球A、B沿光滑平面上的同一条直线同向运动,A追上B并发生碰撞后。假设碰撞后A的动量减小了2kgm/s,而方向不变,那么A、B质量之比的可能范围是什么?解析:A能追上B,说明碰前vAvB,;碰后A的速度不大于B的速度, ;又因为碰撞过程系统动能不会增加, ,由以上不等式组解得:来源:高考资源网KS5U 点评:此类碰撞问题要考虑三个因素:碰撞中系统动量守恒;碰撞过程中系统动能不
7、增加;碰前碰后两个物体位置关系(不穿越)和速度大小应保证其顺序合理。来源:Ks5u 来源:高考资源网KS5U 来源:高考资源网 s2 ds1v02子弹打木块类问题子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型,它的特点是:子弹以水平速度射向原来静止的木块,并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。【例3】 设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块,并留在木块中不再射出,子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。解析:子弹和木块最后共同运动,相当于完全非弹性碰撞。从动量的角度看,子弹射入木块
8、过程中系统动量守恒:从能量的角度看,该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f,设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2,如下列图,显然有s1-s2=d对子弹用动能定理: 对木块用动能定理: 来源:高考资源网、相减得: 点评:这个式子的物理意义是:fd恰好等于系统动能的损失;根据能量守恒定律,系统动能的损失应该等于系统内能的增加;可见,即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能),等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积(由于摩擦力是耗散力,摩擦生热跟路径有关,所以这里应该用路程,而不是用位移)。 由上式不难求得平均阻力的大小:至于木块前进的距离s2,可以由以上、相
9、比得出:来源:高考资源网KS5U 从牛顿运动定律和运动学公式出发,也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动,位移与平均速度成正比: 来源:高考资源网一般情况下,所以s2d。这说明,在子弹射入木块过程中,木块的位移很小,可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互作用,动量守恒,最后共同运动的类型,全过程动能的损失量可用公式:当子弹速度很大时,可能射穿木块,这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等,但穿透过程中系统动量仍然守恒,系统动能损失仍然是EK= f d(这里的d为木块的厚度),但由于末状态子弹和木块速度不相等,所以不能再用式计算EK的大小
10、。3反冲问题在某些情况下,原来系统内物体具有相同的速度,发生相互作用后各局部的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用过程中系统的动能增大,有其它能向动能转化。可以把这类问题统称为反冲。【例4】 质量为m的人站在质量为M,长为L的静止小船的右端,小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时,船左端离岸多远?来源:高考资源网KS5U 解析:先画出示意图。人、船系统动量守恒,总动量始终为零,所以人、船动量大小始终相等。从图中可以看出,人、船的位移大小之和等于L。设人、船位移大小分别为l1、l2,那么:mv1=Mv2,两边同乘时间t,ml1=Ml2,而l1+l2=L,点评:应该注意到:此结论与人在船上行
11、走的速度大小无关。不管是匀速行走还是变速行走,甚至往返行走,只要人最终到达船的左端,那么结论都是相同的。以上列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。如果发生相互作用前系统就具有一定的动量,就不能再用m1v1=m2v2这种形式列方程,而要用(m1+m2)v0= m1v1+ m2v2列式。【例5】 总质量为M的火箭模型 从飞机上释放时的速度为v0,速度方向水平。火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后,火箭本身的速度变为多大?解析:火箭喷出燃气前后系统动量守恒。喷出燃气后火箭剩余质量变为M-m,以v0方向为正方向,来源ks5u 4爆炸类问题【例6】 抛出的手雷在最高点时水平速度为10m/s
12、,这时突然炸成两块,其中大块质量300g仍按原方向飞行,其速度测得为50m/s,另一小块质量为200g,求它的速度的大小和方向。分析:手雷在空中爆炸时所受合外力应是它受到的重力G=( m1+m2 )g,可见系统的动量并不守恒。但在爆炸瞬间,内力远大于外力时,外力可以不计,系统动量近似守恒。来源:高考资源网设手雷原飞行方向为正方向,那么整体初速度;m1=0.3kg的大块速度为m/s、m2=0.2kg的小块速度为,方向不清,暂设为正方向。由动量守恒定律:m/s此结果说明,质量为200克的局部以50m/s的速度向反方向运动,其中负号表示与所设正方向相反5某一方向上的动量守恒【例7】 如下列图,AB为
13、一光滑水平横杆,杆上套一质量为M的小圆环,环上系一长为L质量不计的细绳,绳的另一端拴一质量为m的小球,现将绳拉直,且与AB平行,由静止释放小球,那么当线绳与A B成角时,圆环移动的距离是多少?来源:高考资源网来源:Ks5u 解析:虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零(杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等)系统动量不守恒,但是系统在水平方向不受外力,因而水平动量守恒。设细绳与AB成角时小球的水平速度为v,圆环的水平速度为V,那么由水平动量守恒有:MV=mv且在任意时刻或位置V与v均满足这一关系,加之时间相同,公式中的V和v可分别用其水平位移替代,那么上式可写为:Md=m(L-Lcos
14、)-d解得圆环移动的距离: d=mL(1-cos)/(M+m)来源:高考资源网KS5U 6物块与平板间的相对滑动【例8】如下列图,一质量为M的平板车B放在光滑水平面上,在其右端放一质量为m的小木块A,mM,A、B间动摩擦因数为,现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0,使A开始向左运动,B开始向右运动,最后A不会滑离B,求:(1)A、B最后的速度大小和方向;来源:Ks5u (2)从地面上看,小木块向左运动到离出发点最远处时,平板车向右运动位移大小。解析:(1)由A、B系统动量守恒定律得:Mv0-mv0=(M+m)v所以v=v0 方向向右(2)A向左运动速度减为零时,到达最远处,此时板车移动位移为s,速度为v,那么由动量守恒定律得:Mv0-mv0=Mv对板车应用动能定理得:-mgs=mv2-mv02 来源:Ks5u 联立解得:s=v02【例9】两块厚度相同的木块A和B,紧靠着放在光滑的水平面上,其质量分别为,它们的下底面光滑,上外表粗糙;另有一质量的滑块C(可视为质点),以的速度恰好水平地滑到A的上外表,如下列图,由于摩擦,滑块最后停在木块B上,B和C的共同速度为3.0m/s,求:(1)木块A的最终速度; (2)滑块C离开A时的速度。解析:这是一个由A、B、C三个物体组成的系统,以这系统为研究对象,当C在A、B上滑动时,A、B、C三