1、数学建模竞赛试题2009B “眼科病床的合理安排”沈阳工业大学 数学系 2“眼科病床的合理安排”赛题 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时
2、间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（F
3、irst come,First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。3“眼科病床的合理安排”赛题 问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：
4、若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。4 模型的假设与符号说明 假设1：题目所给数据是合理、正确的 假设2：视网膜与青光眼两类病不考虑急症 假设3：白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天 假设4：该医院眼科手术条件比较充分，在安排病床时不考虑手术条件的限制 假设5：对于问题四，假定周六和周日可安排外伤手术，但不能安排其他手术
5、 5 模型的假设与符号说明 符号 符号说明()()qT ij 患第i类病的第j个病人的等待入院时间()()gT ij 患第i类病的第j个病人的术前的准备时间()()fTij 患第i类病的第j个病人的住院时间 NO 平均每天出院人数 qT 手术前的平均逗留时间，即从门诊到第一次手术的平均时间 gT 病人的平均术前的准备时间 fT 病人的平均住院时间()()hT ij 患第i类病的第j个病人的入院时间（()()1,2,3,hT ij，()()1hT ij 表示 2008年 7 月 13 日，()()2hT ij 表示 2008 年 7 月 14 日，依此类推）()()oT ij 患第i类病的第j个
6、病人的手术时间（()()oT ij的计数方式与()()hT ij相同，即()()1oT ij 表示 2008 年 7 月 13 日，()()2oT ij 表示 2008 年 7 月 14 日，依此类推）6 模型的假设与符号说明()n i 一段时间内到门诊看病的第i类病人的人数()()N ij 第j天第i类病人的在院人数（不包括当天新入院的人数）()()NI ij 第j天第i类病人的新入院人数()()NO ij 第j天第i类病人的出院人数()i 第i类病人平均每天到门诊看病的人数()C i 分配给第i类病人的病床数，单位为张%求余符号，等价于 mod 第i=1 类病表示白内障（单眼）疾病，第i=
7、2 类病表示白内障（双眼）疾病，第i=3 类病表示视网膜疾病，第i=4 类病表示青光眼疾病，第i=5 类病表示外伤疾病 7 问题分析（1）此题研究的是某医院眼科病床合理安排的数学建模问题。要对病床进行合理的安排，就要有合理的安排规则，尤其是在医院病床不够的时候。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come,First serve）规则安排住院，这样虽然对病人很公平，但缺乏合理性，例如根据FCFS原则，白内障双眼的病人可能会在星期二入院，但医院规定“白内障双眼的患者在星期一做一只眼，在星期三做另一只眼”，所以该患者的术前准备时间就变为6天，而一般情况下，白内障患者的术前准备时
8、间只需1、2天；这样的情况会延迟其它类病人的入院时间，进而使得病人队列越来越长。8 问题分析（2）在病床不够的情况下，从医院的角度讲，医院自然希望在多做手术的同时，减小病人占用病床的时间。为了得到合理的安排规则，首先要确定合理的评价指标体系，用此评价按该规则建立的病床安排模型的优劣。9 问题分析（3）针对问题一：从病人的角度看，病人到医院看病分为以下几个阶段:挂号看病时间即门诊时间，入院，手术前的准备，手术，手术后的观察，出院。合理的安排就是让病人从挂号看病到出院的时间尽量的短。但根据实际情况知病人的术后观察时间是由病情决定的，故所建立的模型只能缩短门诊看病到接受手术的时间间隔即病人手术前的逗
9、留时间，所以模型的评价指标可以是病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间。从医院的角度看，我们可以将病床的周转次数作为评价指标。由于病床的周转次数与医院每天出院人数是密切相关的在病床不够的情况下，医院每天出院的人数越多，能够入院的病人就越多，病床周转次数就越多，医院的效益就越好。所以，综合考虑病人和医院的利益，我们把病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间，平均每天出院人数作为评价指标，当前两个指标值越小，最后一个指标值越大的时候，病床安排模型越好。10 问题分析（4）针对问题二：在确定病人入院规则时，要考虑以下几点:白内障病人只能安排在周一与周三做手术，而其它病人除外伤病人外不能在周一和
10、周三做手术，还有不同的病人的术前准备时间不一样；使得建立的入院规则能够让病人的等待时间尽量短，这就可以缩短病人在医院的时间，亦可缩短病人从门诊到入院的时间。再对题给数据进行分析，得出各类病人到门诊看病的统计规律，然后就可以以问题一的评价指标作目标函数，以安排病人入院规则为约束建 立 一 个 病 床 安 排 的 多 目 标 最 优 化 模 型。11 问题分析（5）针对问题三：根据各类病人的统计结果，可得出每天有多少人患病以及患什么病，找出其分布规律，然后根据病人的入院规则，可以得出各类病人大致在星期几入院，再根据术后观察时间的统计规律，便可以得到病人的出院时间，从而可安排病人入院，这样就可在病人
11、门诊时告知其大致的入院时间。12 问题分析（6）针对问题四：同问题二一样，以问题一的评价标准作为目标函数，建立一个病床安排的多目标最优化模型。但由于周六、日不安排手术，会使得约束条件发生改变。针对问题五：从便于管理的角度医院可以根据各类病人的到达规律安排病床，故先统计出各类病人的到达服从什么样的分布，再建立模型求出平均逗留时间最短时的病床分配方案，但在分配时要把外伤类除外，因外伤类病人不允许等待，故分派给外伤病人的病床必须保证每天都能满足需入院的外伤病人，因此先分配外伤类的病床，再统一分配余下各类病的病床。13 数据分析（1）定义1 术后观察时间指病人出院与第一次手术的时间间隔 定义2 手术前
12、的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间 等待住院病人队列越来越长的原因 因为08年7月13日-08年9月11日平均每天到门诊看病的人数为8.6885人，平均每天出院人数为8.1163人。14 数据分析（2）各类病人的到达（病人到达时间指病人的门诊时间）服从泊松分布 表 4.1：各类病人的到达服从泊松分布的卡方拟合优度检验卡方拟合优度检验 白内障单眼患者到达时间：白内障双眼患者到达时间：视网膜患者到达时间：假设检验 假设检验 假设检验 零假设 服从泊松分布服从泊松分布 零假设 服从泊松分布服从泊松分布 零假设 服从泊松分布服从泊松分布 自由度 3 自由度 4 自由度 4 卡方统计量 1.8
13、卡方统计量 1.9 卡方统计量 3.7 p 值 0.6 p 值 0.8 p 值 0.5 显著性水平 0.1 显著性水平 0.1 显著性水平 0.1 结果 接受零假设接受零假设 结果 接受零假设接受零假设 结果 接受零假设接受零假设 青光眼患者到达时间：外伤患者到达时间：假设检验 假设检验 零假设 服从泊松分布服从泊松分布 零假设 服从泊松分布服从泊松分布 自由度 3 自由度 2 卡方统计量 4 卡方统计量 1 p 值 0 p 值 1 显著性水平 0 显著性水平 0 结果 接受零假设接受零假设 结果 接受零假设接受零假设 15 数据分析（3）根据指数分布与泊松分布的关系1：如相继两个事件出现的间
14、隔时间服从参数为的指数分布，则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为的泊松分布，即单位时间内该事件出现k次的概率为()(0,1,2,)!kepkknk 表 4.2：各类病人达到时间的概率密度函数和相应的值 类别 白内障单眼 白内障双眼 视网膜 青光眼 外伤 1.6 2.2 2.8 1 1()pk 1.61.6!kek 2.22.2!kek 2.82.8!kek 111!keekk 111!keekk 16 数据分析（4）首先统计出各类病人的术后观察时间（统计结果见附录三），根据统计结果，我们假定各类病人的术后观察时间服从均匀分布。外伤病人住院时间服从泊松分布。以上利用卡方拟合优度检验验证。1
15、7 问题一的解答（1）本文研究的是某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题，对于病床安排模型的优劣，不能凭人们的主观感受进行判断，而要确定合理的评价指标体系进行判断，为此我们确定了如下的评价指标体系：指标 1：手术前的平均逗留时间 手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间，其数学表达式为()51151()()()()()n iqgijqiT ijT ijTn i 该指标值越小，表示病床安排模型越好。18 问题一的解答（2）指标二：平均每天出院人数 平均每天出院人数的数学表达式为：511()()nijNO ijNOn 该指标值越大，表示病床安排模型越优。指标三：病人平均术前的准备时间 病人
16、平均术前准备时间的数学表达式为()51151()()()n igijgiT ijTn i 该指标值越小，表示病床分配模型越优。19 问题一的解答（3）对于题目中给出的以 FCFS 为原则（急症除外）的病床安排模型，我们通过求解得到其三个评价指标分别为：13.1519qT 天 3387.860544NO 人（从题给数据知，在 7 月 30 日之前，只有外伤病人出院，但在 7 月 30 日之后，各类病人均出院达到稳定，所以用 7 月 30 日之后的统计数据求解平均每天出院人数）2.4413gT 天 20 问题二的解答 确定目标函数 minmaxminqgTNOT 确定约束条件 1()()7,1,2gT iji 2()()7,3,4gT iji(5)()1gTj 21 问题二的解答 根据数据分析结果，为了缩短等待入院病人的队列长度，我们制定了如下的病床安排原则：原则 1 白内障单眼患者一般安排在周一、周二、周六、周日入院 原则 2 白内障双眼患者一般安排在周六、周日入院 原则 3 视网膜和青光眼患者安排在周三、周四、周五入院 原则 4 外伤病人当天入院，第二天手术 原则 5 当病人等待时间达
