1、第二章 第八节 幂函数与二次函数题组一幂函数问题1.幂函数f(x)x的局部对应值如下表：x1 f(x)1那么不等式f(|x|)2的解集是 ()A.x|4x4 B.x|0x4 C.x|x D.x|0x解析：由表知()，f(x).2，即|x|4，故4x4.答案：A2.函数y(nN，n2)的图象的大致形状是 ()解析：由n2知0，x0，且图象在第一象限内为减函数.答案：A3.比拟以下各组值的大小：(1)和；(2) 、 (3)0.20.5和0.40.3.解：比拟幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值.(1)由于幂函数在(0，)上是减函数，所以，因此 ，即(2)由于 因此(
2、3)由于指数函数y0.2x在R上是减函数，所以0.20.50.20.3，又由于幂函数yx0.3在(0，)上是增函数，所以0.20.30.40.3，故有0.20.50.40.3.题组二二次函数的解析式4.函数f(x)x2bxc且f(1x)f (x)，那么以下不等式中成立的是 ()A.f(2)f(0)f(2)B.f(0)f (2)f (2)C. f (0)f (2)f (2)D. f (2)f (0)f (2)解析：f (1x)f(x)，(x1)2b(x1)cx 2b xc，x2(2b)x1bcx2bxc，2bb，即b1，f(x)x 2xc，其图象的对称轴为x，f(0)f(2)f(2).答案：C5
3、.(2023海口模拟)方程|x22x|a21(a(0，)的解的个数是 ()A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析：a(0，)，a211，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点，方程有两解.应选B.答案：B6.二次函数f(x)的二次项系数为a，满足不等式f(x)2x的解集为(1,3)，且方程f(x)6a0有两个相等的实根，求f(x)的解析式.解：设f(x)ax2bxc(a0).f(x)2x，ax2bxc2x，即ax2(b2)xc0.解集为(1,3)，故 由于f(x)6a有两个相等的实根，故ax2bxc6a0中0.b24a(c6a)0. 联立，故a，b，c，f(x)x2x.题组三二次函
4、数的性质7.函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，那么f(1)的取值范围是 ()A. f (1)25 B.f(1)25 C. f (1)25 D.f(1)25解析：由题知2，m16.f(1)9m25.答案：A8.(2023天津高考)函数f(x)假设f(2a2)f(a)，那么实数a的取值范围是 ()A.(，1)(2，)B.(1,2)C.(2,1)D.(，2)(1，)解析：函数f(x)的图象如图.知f(x)在R上为增函数.f(2a2)f(a)，即2a2a.解得2a1.答案：C9.f(x)x22x3，在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，那么m的取值范围是.解析：假设f (x)3，那么x0
5、或x2；假设f (x)2，那么x1.借助函数图象可知1m2.答案：1m2题组四幂函数与二次函数的综合应用10.(2023福建高考)函数f (x)ax2bxc(a0)的图象关于直线x对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程mf(x)2nf(x)p0的解集都不可能是 ()A.1,2 B.1,4 C.1,2,3,4 D.1,4,16,64解析：设关于f(x)的方程mf(x)2nf(x)p0有两根，即f(x)t1或f(x)t2.而f(x)ax2bxc的图象关于x对称，因而f(x)t1或f(x)t2的两根也关于x对称.而选项D中.答案：D11.不等式(a2)x22(a2)x
6、40对一切xR恒成立，那么a的取值范围是.解析：当a20，即a2时，40恒成立；当a20时， 解之得：2a2a的取值范围是2a2.答案：(2,212.设f(x)ax2bxc，假设6a2bc0，f(1)f(3)0，(1)假设a1，求f(2)的值；(2)求证：方程f(x)0必有两个不等实根x1、x2，且3x1x25.解：(1)6a2bc0，a1，f(2)4a2bc2a2.(2)证明：首先说明a0，f(1)f(3)(abc)(9a3bc)(5ab)(3ab)0，假设a0，那么f(1)f(3)b20与矛盾，a0，其次说明二次方程f(x)0必有两个不等实根x1、x2，f(2)4a2bc2a，假设a0，二次函数f(x)ax2bxc开口向上，而此时f(2)0，假设a0，二次函数f(x)ax2bxc开口向下，而此时f(2)0.故二次函数图象必与x轴有两个不同交点， 二次方程f(x)0必有两个不等实根x1、x2，(或利用b24acb24a(6a2b)b28ab24a2(b4a)28a20来说明)a0，将不等式(5ab)(3ab)0两边同除以a2得(3)(5)0，53.3x1x25.
