1、第九章 直线、平面、简单几何体知识结构网络91 平面的性质与直线的位置关系一、明确复习目标1掌握平面的根本性质，会运用这些性质解决有关共面、共线、共点、交线等问题.2掌握空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，能证明和判断两条直线是异面直线.能用图形表示两条直线的位置关系，会解决与位置关系有关的问题. 3能进行简单的文字、符号、图形三者之间的转化.二建构知识网络一平面的概念和性质1平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸.2空间点、线、面的位置关系及表示：要正确运用以下符号：点A,B,C,;直线 a,b,c,;平面,ab,ab,a,a, , /, , =a3平面的根本性质公理1.线的在平面
2、内.用途：判定直线在平面内，验证是否平面公理2两个平面的交线. 用途：确定两相交平面的交线；判定点在直线上.公理3及其三个推论: 确定平面的条件.注意“确定即“有且只有一个的含义4所有点都在一个平面内的图形称为平面图形，否那么称为空间图形.二空间两条直线 1空间两直线的位置关系有：1相交； 2平行；3异面.定义2 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行.3 等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.推论:两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的角相等.4 空间两条异面直线:不同在任何全个平面内.判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，
3、和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.5异面直线所成的角的求法：找(或)作出过一条直线上一点,于另一直线平直线;或过空间一点与两条直线平行的直线,转化为平面内的角,再用平面几何的方法去求;也可用向量法.注意:两条直线所成的角的范围:. 两条异面直线所成的角的范围:.6 两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直且相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线.理解：和异面直线都垂直的直线有无数条，公垂线只有一条.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段公垂线段的长度，叫做两条异面直线间的距离 计算方法：几何法；向量法三、双基题目练练手1. 三点确定一个平面的条件是_；共点的四条直线最多可以确
4、定_平面；互不相交的三条直线可以确定_平面.2. 判断以下命题真假1四边相等且有一个内角是直角的四边形是正方形； 2四点不共面，那么其中任意三点不共线； 3“平面不经过直线的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内 ( )4两个平面有三个共公点，那么这两个平面重合； 5三个平面可以把空间分成四、六、七、八个局部； 6过直线外一点向直线引垂线，有且只有一条； 7异面直线a与c、b与c所成的角相等，那么a与b平行或异面 8过空间任一点一定可以作一条直线与两条异面直线都相交. 32023福建对平面和共面的直线、以下命题中真命题是 ( ) A假设那么 B假设那么C假设那么D假设、与所成的角相等，那么4.
5、 直线a、b相交于点O且a、b成60角，过点O与a、b都成60角的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条5以下各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，那么PQ与SR一定是异面直线的是6画出上题图B中平面PQR与下底面的交线.答案提示：1不共线；六个； 0个、一个或三个.2 ；. 3.C； 4.C 5.C四、经典例题做一做【例1】用图形表示：ab=m,aa,bb,am=A,bm=B,ca=P,Pa,cb. 图略思悟提炼：熟悉图形语言、符号语言之间的互化.提高画图能力.【例2】P是正方体ABCD-A1B1C1D1上一点,(不是端点),求证:过P点有且只有一条直线与直线BC
6、、C1D1相交.证明：依题设，平面BCP与直线C1D1有且只有一个交点，设为Q，过两点Q、P有且只有一条直线，且与BC必相交.PB1C1_D1A1DCBARQ思悟提炼：1.线面相交,有且只有一个交点.一个平面内的直线不平行就相交.【例3】1三条直线a,b,c互相平行，且都与直线m相交，求证：这四条直线共面；2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P,Q,R,S是棱的中点，求证：MNPQRS是正六边形.证明:(1)设a,m确定平面再证b, c在内.(2)证SR/MQ/NP,且都与RN相交.O_SRQPNMDCD1C1B1A1BA思悟提炼:证明点或线共面的方法：【例4】如图，DABC和DA
7、BC不共面，直线AA、BB、CC两两相交.(1)求证：这三条直线AA、BB、CC交于一点；(2) 假设直线AB和AB、BC和BC、CA和CA分别交于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.ABCABCPQRS思悟提炼：用平面的根本性质证明空间三点共线、三线共点的方法.【例5】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，且ab，求：（1） 以下异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C.2异面直线D1B与AC所成角的余弦值. A A B B C C D D 1111EFO 解1：BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故AB与CC1的距离为b.AA1为异面
8、直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c. 过B作BEB1C，垂足为E，那么BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE=，即为所求.2解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，那么OFD1B，AOF就是异面直线D1B与AC所成的角. AO=，OF= BD1=，AF=， 在AOF中，cosAOF=解法二:补图形如下,在BGD1中,GBD1为所求角的补角五提炼总结以为师同步练习 9.1平面的性质与直线的位置关系【选择题】1以下四个命题：1分别在两个平面内的两条直线是异面直线2和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条3和两条异面直线都相交的两条直线必异面4假设与是异
9、面直线，与是异面直线，那么与也异面其中真命题个数为 A.3 B.2 C.1 D.02在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，那么直线与所成的角为 A.300 B.450 C.600 D.9003AB、CD在平面内，AB/CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面外，EF/AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面相距15厘米，那么EF与CD的距离为 A.25厘米 B.39厘米 C.25或39厘米 D.15厘米4直线a，如果直线b同时满足条件：a、b异面a、b所成的角为定值a、b间的距离为定值，那么这样的直线b有 A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 【填空题】5.互不重合的三个平面
10、的交线可能有_条.6.ac，b与c不平行、 a与b不相交，a,b的位置关系是 7在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为_ 8两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，那么A、B两点间的距离为_答案提示：1-4. DCCD 5.0、1、2、3四种.6.异面直线. 7.; 8. . 【解答题】ABCDEF9.正四面体ABCD中，BC的中点为E，AD的中点为F，连AE、CF.1判断AE、CF的位置关系；2求AE与CF所成的角的余弦.答案： 10.(2023上海春)在长方体中，求异面直线与所成角的大小结果用反三角函数值表示.解：连接，那么
11、为异面直线与所成的角.在中， . 异面直线所成的角为. 11.如以以下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23. 求证：EF、GH、BD交于一点. 证明：连结GE、HF，E、G分别为BC、AB的中点，GEAC.又DFFC=23，DHHA=23，HFAC.GEHF.故G、E、F、H四点共面.又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为O.那么O面ABD，O面BCD，而平面ABD平面BCD=BD.EF、GH、BD交于一点.【探索题】设ABC和A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且= .试求的值. 【探索题】解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=，所以ABA1B1，ACA1C1，BCB1C1.由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1，ABCA1B1C1，所以=2=.
