1、202323年全国高中数学联赛天津赛区预赛一、选择题每题6分，共36分1方程的实数解的个数为 。 大于答 选。设，那么，因此，从而可得，因此是方程的两个实根，判别式，无解，所以选。2正边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成假设干个区域，每个区域都是三角形，那么锐角三角形的个数为 。 大于 与分割的方法有关答 选。只有包含正边形中心的三角形是锐角三角形，所以只有一个，选。3关于参数的二次函数的最小值是关于的函数，那么的最小值为 。 以上结果都不对答 选。当时，的最小值为，其中。因为对称轴为，所以当时的最小值为，选。4为正整数，实数满足，假设的最大值为，那么满足条件的数对的数目为 。 。答 选。
2、 因为，所以，于是有，因此。由于，得，其中的最大值当，时取到。又因为，所以满足条件的数对的数目为，选。5定义区间的长度均为，其中。实数，那么满足的构成的区间的长度之和为 。 答 选。原不等式等价于。当或时，原不等式等价于。设，那么。设的两个根分别为，那么满足的构成的区间为，区间的长度为。当时，同理可得满足的构成的区间为，区间的长度为。由韦达定理，所以满足条件的构成的区间的长度之和为，所以选。6过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。假设，那么四面体的外接球的半径为 。 答 选。过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，垂足为，那么，且有。由于，那么，因此为半径为的球的
3、直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得。二、填空题每题9分，共54分7假设关于的方程组有解，且所有的解都是整数，那么有序数对的数目为 。答 。因为的整数解为，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有条，过这八个点的切线有条，每条直线确定了唯一的有序数对，所以有序数对的数目为。8方程的所有正整数解为 。答 。因为，所以。设，类似的可得 。设，那么原方程化为，即。因为，所以。又因为，所以为偶数，于是，经验证，所以。或由，得，又因为为奇数，所以经验证。9假设是边长为的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，假设，那么满足条件的点有两个，分别设为，那么之间的距离为 。答 。设，由余弦
4、定理得。一方面，另一方面，解得。同理可得。从而有。当时，有最大值，且最大值为，所以。由于，所以。设两个根分别为，那么。10方程的不同非零整数解的个数为 。答 。利用，原方程等价于。方程两端同除，整理后得。再同除，得。即，从而有。经验证均是原方程的根，所以原方程共有个整数根。11设集合，其中是五个不同的正整数，假设中所有元素的和为，那么满足条件的集合的个数为 。答 。因为，所以。由于中有，因此中有。假设，那么，于是，无正整数解。假设，由于，所以，于是。又因为，当时，；当时，因此满足条件的共有个，分别为。12在平面直角坐标系中定义两点之间的交通距离为。假设到点的交通距离相等，其中实数满足，那么所有
5、满足条件的点的轨迹的长之和为 。答 。由条件得。当时，无解；当时，无解；当时，无解；当时，线段长为。当时，线段长为。当时，线段长为。当时，无解。当时，无解。当时，无解。综上所述，点的轨迹构成的线段的长之和为。三、论述题每题20分，共60分13的外心为，为的外接圆上且在内部的任意一点，以为直径的圆分别与交于点， 分别与或其延长线交于点，求证三点共线。证明 连，与交于点，由于，因此是等腰三角形，所以,，于是可得，从而有在的中垂线上。由于，在的中垂线上，于是有，即三点共线。14数列满足，对于所有正整数，有，求使得成立的最小正整数。解法一 设，的特征方程为，特征根为，结合，得。由二项式定理得。当为奇数
6、时，；当为偶数时，。于是，即，所以满足条件的最小正整数为。解法二 下面都是在模意义下的,那么,即,因此数列在模意义下具有等差数列的特点。又因为，所以。于是有，因此满足条件的最小正整数为。15排成一排的名学生生日的月份均不相同，有名教师，依次挑选这些学生参加个兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的，每名教师尽可能多项选择学生，对于学生所有可能的排序，求的最小值。解 的最小值为。假设，不妨假设这名学生生日的月份分别为，当学生按生日排序为时，存在一名教师至少要挑选前四名学生中的
7、两名，由于这两名学生生日的月份是逐渐减少的，且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份，因此这名教师不可能再挑选后六名学生；在余下的不超过两名教师中，一定存在一名教师至少要挑选第五名至第七名学生中的两名，同理，这名教师不可能再挑选后三名学生；余下的不超过一名教师也不可能挑选后三名学生，矛盾。下面先证明：对于互不相同的有序实数列，当时，一定存在三个数满足或。设最大数和最小数分别为，不妨假设。假设，那么满足；，因为，所以要么在的前面，要么在的后面至少有两个数，不妨假设在的后面有两个数，从而与中一定有一个成立。引用上面的结论，当时，第一名教师至少可以挑选三名学生；假设余下的学生大于等于名，那么第二名教师也至少可以挑选三名学生；这时剩下的学生的数目不超过名，可以被两名教师全部挑选，因此，的最小值为。
