1、一、连续函数的概念一、连续函数的概念 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质 第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 连续变化的曲线对应的函数为连续函数连续变化的曲线对应的函数为连续函数 如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映 0 x y 1.函数的增量函数的增量 一、连续函数的概念一、连续函数的概念 设函数
2、设函数 在点在点 附近有定义附近有定义,把把 附近的点附近的点 记为记为 ,则称则称 为自变量由为自变量由 变到变到 的的增量增量.)(xfy 0 x0 xxxxx00 xxx0 xx)()(00 xfxxfy为函数在点为函数在点 的增量的增量.0 xxy00 xxx 0)(xfy y x 2 2函数连续性的定义函数连续性的定义 ,00 xxx就是就是).()(00 xfxfy就是就是 定义定义1-9 设函数设函数 在点在点 及其附近有定义及其附近有定义,如如果果 时时,也有也有 ,即即 0 x0 x0)()(limlim00000 xfxxfyxx,0 xxx设设)()(0 xfxfy注意注
3、意 故定义中故定义中1-9的极限式等价于的极限式等价于)()(lim00 xfxfxx0 x0 x则称函数则称函数 在点在点 处连续处连续,称称 为为 的连续点的连续点.)(xfy 0y)(xfy)(xf因此，函数在一点连续的充分必要条件是因此，函数在一点连续的充分必要条件是;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 例例1-29 讨论函数讨论函数 在在 的连续性的连续性 0,00,1sin)(xxxxxf0 x解解 0)0()1(f 01sinlim)2(0 xx x)0()(lim)3(0fxf x所以所以 在在
4、 连续连续 0 x)(xf单侧连续单侧连续.)(),()(lim)(;)(),()(lim)(00000000处右连续处右连续在点在点则称则称在且在且处的右极限存处的右极限存在在若函数若函数处左连续处左连续在点在点则称则称处的左极限存在且处的左极限存在且在在若函数若函数xxfxfxfxxfxxfxfxfxxf xxxx显然显然.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf 即：即：)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx解解 abaxxfxx)(lim)(lim00又又afxfxfxx )0()(lim)(lim00ba 例例
5、1-30 设设 在点在点 处连续处连续,00 xxbxxbxaxf,sin,)(0 x问问 、应满足什么关系应满足什么关系?abbbxbxbxbxxxsinlimsinlim00af)0(连续函数与连续区间连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连连续函数续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间则称函数则称函数处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续
6、而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例例1 1-3131 .),(sin内连续内连续在区间在区间函数函数证明证明 xy证明证明),(x任取任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx ,1)2cos(xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故.0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy;)()(没有定义没有定义在点在点01xxf;)(lim)(不存在不存在xfxx02).()(lim,)(lim)(0003xfxfxfxxxx但但存在存在3 3函数的间断点函数的间断点
7、 函数的不连续点称为函数的函数的不连续点称为函数的间断点间断点,即满足下列三个即满足下列三个条件之一的点条件之一的点 为函数为函数 的间断点的间断点.0 x)(xf跳跃间断点跳跃间断点.)(),(lim)(lim,)(断点断点的跳跃间的跳跃间为函数为函数则称点则称点但但右极限都存在右极限都存在处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxfxxxx0000 )(lim)(lim00 xfxfxx.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy.0,0,1,0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf例例1 1-3232 解解 1)(lim,0)(lim00 xfxfxx可去间
8、断点可去间断点.)(,)(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数称点称点则则处无定义处无定义在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx oxy112xy 1xy2,1,11,10,1,2)(xxxxxxf 讨论函数讨论函数例例1 1-3333 在在 的连续性的连续性 1x解解 11)(f2)(lim1 xfx)1(f.0为函数的可去间断点为函数的可去间断点所以所以 x 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.2211)(lim
9、,)(limxfxfxx又又如例如例1-33中中,2)1(f令令.1,1,1,10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点跳跃间断点与与可去间断点可去间断点统称为统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点xoxy112第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例1 1-3434.0,0,0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxfoxy.0为函数的第二类间断点为函
10、数的第二类间断点x解解)(lim,0)(lim00 xfxfxx这种情况称为这种情况称为无穷间断点无穷间断点 解解,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 xxy1sin 1-1-0.5 0.5 y x.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf例例1 1-3535 这种情况称为这种情况称为振荡间断点振荡间断点 第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点 可去型可去型 第一类间断点第一类间断点 o y x 跳跃型跳跃型 无穷型无穷型
11、振荡型振荡型 第二类间断点第二类间断点 o y x 0 xo y x 0 xo y x 0 x二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性(1)一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的.(2)若函数若函数 与与 在点在点 连续连续,则函数则函数 )(xf)(xg0 xx)()()(),()(),()(00 xgxgxfxgxfxgxf在在 连续连续.0 xx (3)若函数若函数 在点在点 处连续处连续,设设 ,而函数而函数 在点在点 处连续处连续,则复合函数则复合函数 在点在点 处连续处连续.)(xu0 xx)(00 xu)(ufy 0uu)(xfy0 xx
12、 由以上可知由以上可知:初等函数在其定义域内都是连续的初等函数在其定义域内都是连续的.故对初等函数故对初等函数,求极限就是求这一点的函数求极限就是求这一点的函数值值 例例1 1-3636 215xxxarctanlim求求由于函数在其连续点由于函数在其连续点 满足满足 0 x)()lim()(lim000 xfxfxfxxxx81512arctan解解 215xxxarctanlim.1)1(limln10 xxx eln xxx10)1ln(lim 原式原式解解.)1ln(lim0 xxx 求求例例1 1-3838 例例1 1-3737 xxxesinlim0求求解解 10 xxxsinli
13、m,而函数而函数 在点在点 连续连续,所以所以 uey 1ueeeexxxxxx100sinlimsinlim三、闭区间上连续函数性质三、闭区间上连续函数性质 )()(,11xffba)()(,22xffbaa b 1 2 定理定理1-3（最值定理）（最值定理）若函数若函数 闭区间闭区间 上连续，则上连续，则 在闭区间在闭区间 上必有最大值和最上必有最大值和最小值小值)(xfy)(xfy,ba,ba 推论推论（有界性定理）（有界性定理）若函数若函数 闭区间闭区间 上连续，则上连续，则 在闭区间在闭区间 上必有界上必有界)(xfy)(xfy,ba,bacy a b f(a)f(b)cf)(定理定
14、理1-4（介值定理）（介值定理）若函数若函数 闭区间闭区间 上连续，则对介于上连续，则对介于 和和 之间的任何数之间的任何数 ，至少存在，至少存在一个一个 ，使得，使得 )(xfy,ba)(af)(bfc 其几何意义为其几何意义为 连续曲线弧连续曲线弧 与水平直线与水平直线 至少相交于一点至少相交于一点 cy)(xfy),(ba0)(f 推论推论（根的存在定理）若函数（根的存在定理）若函数 闭区间闭区间 上连续，且上连续，且 与与 异号（即异号（即 )，则至，则至少存在一个少存在一个 ，使得，使得 )(xfy,ba)(af)(bf0)()(bfaf即即 为方程为方程 的的根根 0)(xf注：注
15、：根不一定唯一根不一定唯一 b a)(xf),(ba例例1-39 证明证明 0123 xx在在0，1内至少有一个根内至少有一个根.证明证明 123xxxf)(在在0 1上连续上连续 0)(f0)1()0(,1)1(,1)0(ffff而而 由根的存在定理知，存在由根的存在定理知，存在 (0 1),使得使得 0123 xx在在0，1内至少有一个根内至少有一个根.即即 1函数连续的定义函数连续的定义 2间断点间断点 类型类型：第一类第一类 第二类第二类 可去型可去型 跳跃型跳跃型 无穷无穷 振荡振荡 初等函数的连续性初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 主要内容主要内容 介值定理介值定理最值定理最值定理
