1、答案及试题说明1.解析:f(x)=(lnx2+1)=. f(2)=.答案:B2.解析:y=sin(lnx)+cos(lnx)+xcos(lnx)-sin(lnx)=2cos(lnx).答案:B3.解析:y=3x2+1,又4x-y=1的斜率为4, 设曲线y=x3+x-2的切线中与4x-y=1平行的切线的切点为M(x0,y0), 那么3x02+1=4, x0=1或x0=-1. 切点为M(1,0)、N(-1,-4)均不在4x-y=1上. 有两条直线与4x-y=1平行.答案:D4.解析:f(x)=32x(x2-1)2,令f(x)=0,得x=0或x=1, 但x=1或x=-1时,两侧的导数值的符号同号,不
2、是极值点.答案:D5.解析:y=16x-. 当x(0,)时y0,y=8x2-lnx为增函数.答案:C6.解析:f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)-x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5), f(0)=-1(-2)(-3)(-4)(-5)=-5!.答案:B7.解析:应用导数的几何意义易判断函数的增减性,然后根据极值判断实根的个数.设f(x)=x3-6x2+9x-10f(x)=3x2-12x+9f(x)=0得x1=1或x=3.x1时,f(x)单调递增,最大值为-6.当13时,f(x)单调递增,最小值为-10. 由上分析知y=f(x)的图象如图,与x轴只有一个公
3、共点, 所以只有一个实根.应选C.答案:C(x)=3x2-3,令f(x)=0得x=1. 当0x1时,f(x)0,那么f(1)最小. 又f(0)=-a,f(3)=18-a, 那么f(3)f(0), 那么最大值为f(3), 即M=f(3),N=f(1)M-N=f(3)-f(1)=(18-a)-(-2-a)=20, 应选D.答案:D9.解析:f(x)=2x+2f(1), 令x=1得f(1)=2+2f(1), f(1)=-2. 令x=0得f(0)=2f(1), f(0)=-4.答案:B10.解析:f(x)=-e-x+e-x=e-x(-+)=e-x. 令f(x)=0,得x=.当x时,f(x)0；当x0.
4、 x=时取极大值,f()= =.答案:B11.解析:由y=f(x)的图象可得. 当x0, y=f(x)在(-,0)上单调递增. 当0x2时,f(x)2时,f(x)0, y=f(x)在(2,+)上单调递增.答案:C12.解析:f(x)=3x2+2ax+a+6. 要使f(x)有极大值和极小值,需f(x)=0有两个不相等的实根. =4a2-12(a+6)0. a6或a-3.答案:D13.解析:令x-a=h, 那么原式=2+=2f(a)+f(a)=3.答案:314.解析:设梯形的上底长为2x,高为h,面积为S, 因为h=,所以S=(r+x) , S=-=, 令S=0得x=,h=r, 当0x0;当xr时
5、,S0. 当x=时,S取极大值. 又极值点唯一, 因此当梯形的上底长为r时,它的面积最大.答案:r15.解析: = =- =-. f(0)=-f(0).f(0)=0.答案:016.解析:f(x)=3x2+2ax+b. x=1是极值点, f(1)=0,即3+2a+b=0. 又f(1)=10, 1+a+b+a2=10. 由得或.答案:或17.解:f(x)=3x2+2ax+b. f(x)在x=2处有极值, f(2)=0,即12+4a+b=0. 又f(x)的图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2, f(1)=-3, 即3+2a+b=-3. 由得 f(x)=3x2-6x. 由f(x)=0,得x1=
6、0,x2=2. 当x0；当0x2,f(x)2时,f(x)0. x=0时取极大值,x=2时取极小值. f(0)-f(2)=c-8+12-c=4.18.证明:设f(x)=ln(1+x)-x+,其定义域为(-,+). f(x)=-1+x=0. 所以f(x)在(-1,+)上是增函数. 由增函数定义知,当x0时,f(x)f(0)=0, 即x0时,ln(1+x)x-.19.解:设容器高为x cm,容器的容积为V(x) cm3,那么 V(x)=x(90-2x)(48-2x) =4x3-276x2+4 320x(0x24). 求V(x)的导数,得 V(x)=12x2-552x+4 320 =12(x2-46x
7、+360) =12(x-10)(x-36), 令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去). 当0x10时,V(x)0,那么V(x)为增函数; 当10x24时,V(x)0,那么V(x)为减函数. 因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x=10时取得最大值,其最大值为 V(10)=10(90-20)(48-20) =19 600(cm3).答:当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积为19 600 cm3. 20.解:(1)f(x)=3x2-x+b， f(x)的图象上有与x轴平行的切线，那么f(x)=0有实数解，即方程3x2-x+b=0有实数解， 由=1-12b0，得b.
8、 (2)由题意，x=1是方程3x2-x+b=0的一个根，设另一根为x0， 那么 f(x)=x3-x2-2x+c, f(x)=3x2-x-2. 当x(-1,-)时，f(x)0； x(-,1)时，f(x)0. 当x=-时，f(x)有极大值+c. 又f(-1)=+c,f(2)=2+c, 即当x-1,2时，f(x)的最大值为f(2)=2+c. 对x-1,2时,f(x)2+c. 解得c2.故c的取值范围为(-,-1)(2,+).21.(1)解:因为函数f(x)、g(x)的图象都过点(t,0), 所以f(t)=0,即t3+at=0. 因为t0,所以a=-t2. g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab
9、. 又因为f(x)、g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f(t)=g(t). 而f(x)=3x2+a,g(x)=2bx, 所以3t2+a=2bt. 将a=-t2代入上式得b=t. 因此c=ab=-t3. 故a=-t2,b=t,c=-t3.(2)解法一:y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 当y=(3x+t)(x-t)0时,函数y=f(x)-g(x)单调递减. 由y0,那么-xt; 假设t0,那么tx-. 由题意,函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,那么(-1,3)(-,t)或(-1,3)(t,-). 所以t3或-3,即t-9或t3. 又当-9t0,x1x2=-a0,x1+x2=-. |x1|+|x2|=|x1-x2|=. |x1|+|x2|=2,+4a=4, 即b2=4a2-4a3. 又b20,00得0a,g(a)0. 又0a1得x1,|x-x1|=x-x1. 又x10,x1x20. x2+22. x2, x-x2-20. |x-x2-2|=x2+2-x. |x-x1|+|x-x2-2|=x2-x1+2=4, |h(x)|4a.
