1、2023年高三一轮复习讲座一 - 集合与简易逻辑 主讲教师：王思俭 苏州中学二、复习要求 1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系； 5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。三、学习指导 1、集合的概念：（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2） 集合的分类： 按元素个数分：有限集，无限集； 按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2，表示非负实数集，点集
2、(x，y)|y=x2表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3） 集合的表示法： 列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=0，1，2，3，；描述法。2、两类关系：（1） 元素与集合的关系，用或表示； 2集合与集合的关系，用，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。3、集合运算 1交，并，补，定义：AB=x|xA且xB，AB=x|xA，或xB，CUA=x|xU，且xA，集合U表示全集；（2） 运算律，如ABC=ABAC，CUAB=CUACUB，CUAB=CUACUB等。 4、命题：（1） 命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2） 复合命题的形式：p
3、且q，p或q，非p； 3复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。 3四种命题：记“假设q那么p为原命题，那么否命题为“假设非p那么非q，逆命题为“假设q那么p“，逆否命题为假设非q那么非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。5、 充分条件与必要条件 1定义：对命题“假设p那么q而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两
4、种命题均为真时，称p是q的充要条件； 2在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，假设记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，那么当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；（3） 当p和q互为充要时，表达了命题等价转换的思想。6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。 7、集合概念及其根本理论是近代数学最根本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。四、典型例题 例1、集
5、合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求MN。解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M=y|y=x2+1，xR=y|y1，N=y|y=x+1，xR=y|yR MN=M=y|y1说明：实际上，从函数角度看，此题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合y|y=f(x)，xA应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合x，y|y=x2+1，xR是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中
6、元素特征与代表元素的字母无关，例y|y1=x|x1。例2、集合A=x|x2-3x+2=0，B+x|x2-mx+2=0，且AB=B，求实数m范围。解题思路分析：化简条件得A=1，2，AB=BBA根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B=1或2，B=1，2当B=时，=m2-80 当B=1或2时，m无解当B=1，2时， m=3综上所述，m=3或说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如此题当B=1或2时，不能遗漏=0。例3、用反证法证明：x、yR，x+y2，求 证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析：假设x1且y1，由不等式同向相加的性质x+y2与x+
7、y2矛盾 假设不成立 x、y中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“假设p那么q为真，先证“假设p那么非q为假，因在条件p下，q与非q是对立事件不能同时成立，但必有一个成立，所以当“假设p那么非q为假时，“假设p那么q一定为真。例4、假设A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。解题思路分析：利用“、“符号分析各命题之间的关系 DCBA DA，D是A的充分不必要条件说明：符号“、“具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。例5、求直线l：ax-y+b=0经过两直线l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交点的充要条件。
8、解题思路分析：从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。由 得l1，l2交点P l过点P 17a+4b=11充分性：设a，b满足17a+4b=11 代入l方程：整理得：此方程说明，直线l恒过两直线的交点而此点为l1与l2的交点 充分性得证 综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。同步练习（一） 选择题1、 设M=x|x2+x+2=0，a=lg(lg10)，那么a与M的关系是A、a=M B、Ma C、aM D、Ma2、 全集U=R，A=x|x-a|2，B=x|x-1|3
9、，且AB=，那么a的取值范围是A、 0，2 B、-2，2 C、0，2 D、0，23、 集合M=x|x=a2-3a+2，aR，N、x|x=b2-b，bR，那么M，N的关系是A、 MN B、MN C、M=N D、不确定 4、设集合A=x|xZ且-10x-1，B=x|xZ，且|x|5，那么AB中的元素个数是A、11 B、10 C、16 D、155、集合M=1，2，3，4，5的子集是A、15 B、16 C、31 D、326、对于命题“正方形的四个内角相等，下面判断正确的选项是 A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真7、“是coscos的A、充分不必要条件 B、必要
10、不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 8、集合A=x|x=3k-2，kZ，B=y|y=3l+1，lZ，S=y|y=6m+1，mZ之间的关系是A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0m1或m0 B、0m1C、m1 D、m110、p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，那么p是q的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件充要条件 D、既不充分又不必要条件（二） 填空题11、 M=，N=x|，那么MN=_。 12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，那么两者都爱好的人数最少是_
11、人。13、 关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是_。14、 命题“假设ab=0，那么a、b中至少有一个为零的逆否命题为_。15、 非空集合p满足以下两个条件：1p1，2，3，4，5，2假设元素ap，那么6-ap，那么集合p个数是_。（三） 解答题16、 设集合A=(x，y)|y=ax+1，B=(x，y)|y=|x|，假设AB是单元素集合，求a取值范围。17、 抛物线C：y=-x2+mx-1，点M0，3，N3，0，求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。18、 设A=x|x2+px+q=0，M=1，3，5，7，9，N=1，4，7，10，假设AM=，AN=A，求p、q的值。19、 ，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。参考答案（一） 选择题1、C 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、D 10、A（二） 填空题 11、 12、25，60 13、-1a1 14、假设a、b均不为0，那么ab0 15、7（三） 解答题16、a1或a-1，提示：画图17、 3m 18、，或，或
