1、第二章 函数知识结构网络21 映射 函数 解析式函数就是两个非空数集之间的对应，由定义域、对应法那么和值域三个要素构成；对应法那么是函数问题的核心，中学的函数对应法那么多能用解析式表示。一、明确复习目标1了解映射的概念, 理解函数概念及实质，能用函数思想分析解决问题；2能根据函数所具有的性质、关系求出函数的解析式，掌握一些函数解析式的变形和运用。3理解函数的三种表示方法，培养学生思维的严密性、多样性. 二建构知识网络1.映射：如果非空集合A中任何一个元素，按照某种对应关系f，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f :AB映射是一种特殊的对应，即“一对
2、一或“多对一但不能是“一对多。假设,那么b叫a的象,a叫b的原象;A中元素必有象，B中元素未必有原象。假设A中不同元素的象也不同(称为单射)，且B中每一个元素都有原象(称为满射,那么称这样的映射称为一 一映射。2.函数的定义有两种形式：一是变量观点的定义，一是映射观点的定义(1)在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,就说y是x的函数,(x是自变量).(2)假设A、B是非空的数集，那么映射f : AB称为从集合A到集合B的函数，记作y=fx，xA，x叫自变量;A叫定义域；函数值的集合fx|xA叫值域. 函数是特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集；映
3、射是特殊的对应。用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.3两个函数的相等必须定义域A、值域C和对应法那么f都相同；当函数的定义域及从定义域到值域的对应法那么确定之后，函数的值域也就随之确定，因此，定义域和对应法那么为函数的两个根本条件。4函数的表示法有三种: 解析法、列表法、图象法；解析法就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式；5求函数解析式的题型有：1函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2求复合函数的解析式，或由复合函数求解析式：换元法、配凑法；3函数图像，求函数解析式；4应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等6复合函数：假设y=f(u),u=g(x),
4、xA, uM,那么y=fg(x)称为复合函数，(注意中间变量u的取值范围) 即：, ()三、双基题目练练手1.设集合A=R，集合B=正实数集，那么从集合A到集合B的映射f只可能是 ( )A.f:xy=|x|B.f:xy=C.f:xy=3xD.f:xy=log21+|x|2.假设函数fx=logax+1a0，a1的定义域是0，1时，值域也是0，1，那么a等于 A. B. C. D.23.(2023陕西12) 为确保信息平安,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),加密规那么为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应
5、密文5,7,18,16 当接收方收到密文14,9,23,28时,那么解密得到的明文为 )A 4,6,1,7 B 7,6,1,4 C 6,4,1,7 D 1,6,4,74假设fsinx=2cos2x，那么fcosx等于 A.2sin2x B.2+sin2xC.2cos2xD.2+cos2x5.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，那么在映射f下，象20的原象是 6.如果ffx=2x1，那么一次函数fx=_答案提示：1-4、CDCD；5、4； 6、 设fx=kx+b，待定系数法得fx=x+1或fx=x+1+。四、经典例题做一做【例1】 以下各组函数
6、表示同一函数的是 1fx=，gx=；2fx=，gx=3fx=，gx=2n1nNx；4fx=，gx=；5fx=x22x1，gt=t22t1.解析：对于两个函数，当且仅当它们的定义域、值域、对应法那么都相同时，才表示同一函数；只要两函数的三要素中有一个不同，那么这两个函数就不是同一函数。1对应法那么及值域都不相同，所以它们不是同一函数.2定义域分别为，00，+和R，不是同一函数.3由于当nNx时，2n1为奇数，fx=x，gx=2n1=x，它们的定义域、值域及对应法那么都相同，所以它们是同一函数.4定义域分别为x|x0和 x|x1或x0，不是同一函数.5是同一函数.温馨提示：3小题中易误判为解析式不
7、同，实质上都等于x；5易误认为自变量不同，所以定义域不同，从而认为是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.它们所表示的函数定义域都是R，对应法那么相同。 【例2】 A=1，2，3，4，5，B=6，7，8从集合A到B的映射中满足f1f2f3f4f5的映射有 个。分析：确定映射只须给A中每个数找到象，且符合题中条件，因此对应时不要打乱象和原象的顺序。分一个象，两个象，三个象三类，再用插板法把12345分开。解：将元素12345和678分别按从小到大的顺序排列。1只有一个象的映射有C3个；2假设恰有两个象，就先选出两个象，再把12345用插板法分成两段，并按照原顺序对应，有CC12个；3假设恰有三
8、个象，就将12345分为三段，并按照原顺序对应，有C6种方法.综上知，适合条件的映射共有21个【例3】1，求；2，求；3是一次函数，且满足，求；4满足，求解：1，又或2令，那么，3设，那么，4 ，把中的换成，得 ，得，方法提炼：第1题用配凑法；第2题用换元法；第3题一次函数，可用待定系数法；第4题用方程组法.【例4】. 如以以下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点起点向A点终点移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为y=fx1求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；2作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解：1这个函数的定义域为0，12.当0x4时，S=fx
9、=4x=2x；当4x8时，S=fx=8；当8x12时，S=fx=412x=212x=242x.这个函数的解析式为fx= 2其图形为 由图知，fxmax=8.【研究.欣赏】xy0，并且4x-9y=36由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy0呢？解：因此能确定一个函数关系y=f(x)其定义域为(-，-3)(3，+)且不难得到其值域为(-，0)(0，)特别提示：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系任何一个函数的解析式都可
10、看作一个方程，但方程转化为函数解析式,那么需要一定的条件 五提炼总结以为师1.理解映射与函数的概念，应注意以下几点：1映射包括集合A、B及对应法那么f，是一个完整系统,且有“方向性; 2映射是特殊的对应,它要求:集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一象。A中不同元素，可以对应B中不同的象；不要求B中的每一个元素在A中都有原象.(3) 函数是特殊的映射,它要求A,B都是非空数集;确定一个函数需要三个要素;2.题 型.思想.方法:1确定映射只须按要求，给A中每个元素找到确定的象即可。(2) 求函数的解析式主要有待定系数法、换元法或配凑法。根据实际问题求函数解析式，要符合实际意义，且定义域也要有实际
11、意义。同步练习 21 映射 函数 解析式【选择题】1、集合，以下不表示从到的映射是 A B C D2、以下各组函数是同一函数的是 与； 与；与； 与。A B C D3、2023浙江10函数f：1，2，31，2，3 满足ffxfx，那么这样的函数个数共有 A1个B4个C8个D10个 【填空题】4、两个函数和的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表. x123fx 231g(x) 132那么g(f(1)、g(f(2)、g(f(3)的值依次为 5、2023年湖北，3f=，那么fx= 6 2023北京函数其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)=y|y=f(x),xP，f(M)=y|y
12、=f(x),xM，给出以下四个判断： 假设PM=,那么f(P)f(M)= 假设PM,那么f(P)f(M) 假设PM=R,那么f(P)f(M)=R 假设PMR,那么f(P)f(M)R 其中正确判断的序号是 简答:1-4、BCD； 4. 3,2,1; 5、； 6、.提示:假设PM那么只有假设PM=0这一种可能否那么f(x)不是单值，与函数定义矛盾。和是正确的【解答题】7、假设f :y=3x+1是从集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a4，a2+3a的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.7、解：f1=31+1=4，f2=32+1=7，f3=33+1=10，fk=3k+1，由映射的定义知1或
13、2 aN，方程组1无解.解方程组2，得a=2或a=5舍，3k+1=16，3k=15，k=5.A=1，2，3，5，B=4，7，10，16.8、集合M=a，b，c，N=1，0，1，映射f:MN满足fa+fb+fc=0，那么映射f:MN的个数是多少？8、解：faN，fbN，fcN，且fa+fb+fc=0，有0+0+0=0+1+1=0.当fa=fb=fc=0时，只有一个映射；当fa、fb、fc中恰有一个为0，而另两个分别为1，1时，有CA=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.评述：此题考查了映射的概念和分类讨论的思想.9、用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架如以以下图，假设矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域.解：AB=2x，那么=x，AD=.y=2x+=+2x2+l
