1、双线考点扫描双线考点扫描 武赫扬 双曲线是圆锥曲线中的三種曲线之一，也是高考考查的重点，主要考查定义、标准方程、几何性质等基础知识，考查基本技能与基本方法的运用。一、知识扫描 双曲线的定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F：F2|且大于零）的点的轨迹（或集合）叫作双曲线。定点 Fr，F。叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距。中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 集合 P=M|MF，|-|MF。|=2a，|F，F2|=2c，其中 a、c 为常数且 a0，c0：当 ac 时，P 点的轨迹是双
2、曲线;当 a=c 时，P 点的轨迹是两条射线;当 ac 时，P 点不存在。双曲线的离心率大于 1，而椭圆的离心率 e（O，1）。双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率 e=v2 台双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）。双曲线的标准方程和几何性质如表 1 所示。二、常见题型 考点一：双曲线的定义与标准方程 例 1?若实数 k 满足 0k9，则曲线（）。A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 解析：因为 00。表示焦点在 x 轴上的双曲线。又 25+（9-k）=34-k=（25-k）+9，所以它们的焦距相等，故选 A。点评：双曲线 x2/a2-y2/b2=1（a0，b0）的焦
3、点在 x 轴上，双曲线 y2/a2-x2/b2=1（a0，b0）的焦点在 y 轴上。例 2?已知 F 为双曲线 C：=1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点。若 PQ 的长等于实轴长的 2 倍，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则PQF 的周长为_。解析：依题意知|PQl=4a=122a。又因为 A（5，0）在线段 PQ 上，所以 PQ 在双曲线的右支上。可得|PF|-|PA|=2a=6，|QF|-|QA|=2a=6。所以|PFI+lQF|=24。所以PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=24+12=36。点评：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一
4、支。若是双曲线的一支，则需确定是哪一支。例 3?已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 F1（-5，0），点 P 在双曲线上，且线段 PF，的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是（）A.x2/3-y3/2=1 B.x2-y2/4=1 C.x2/2-y2/3=1 D.x2/4-y2=1 解析：设双曲线的标准方程为 x2/a2-y2/b2=1=1（a0，b0）。由 PF1 的中点为（0，2）知，PF2x 轴，P（V5，4），所以=4，即 b2=4a。所以 5-a2=4a，所以 a=1，b=2，所以双曲线方程为 x2-y2/4=1，故选 B。点评：确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定
5、量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定 a，b 的值，常用待定系数法。若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2+by”=1（AB 考点二：双曲线的离心率 例 4?已知 F，Fz 是双曲线 E：-2-差=1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF，与 x 轴垂直，sinMF，F1=-1 则 E 的离心率为（）。A.2?B.3/2?C.3?D.2 解析：故双曲线离心率 e=选 A。点评：应区分双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中a2=62+c，而在双曲线中 c2=a*+b2。双曲线的离心率 e（1，+），而椭圆的离心率 e（0，1）。例
6、5?过双曲线 ab1（a0，b0）的右焦点 F 作一条直线，当直线倾斜角为”时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点：当直线倾斜角为。时，直线与双曲线右支有两个不同的交点。则双曲线离心率的取值范围为（）。A.（1，23/3）B.（23/3，2）C.（1，3）D.（1，2）解析：由题意得，当直线倾斜角为。时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，所以 又当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，所以 b/a0，b0）上，F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点，F1PF2=90，且F1PF2 的三条边长之比为 3：4：5.则双曲线的渐进方程是（）。A.y=23x B.y=4x C.y=25x
7、D.y=26x 解析：所以 所以双曲线的渐近线方程是 y=26x0 故选 D。点评：用双曲线定义及虚轴长布列方程组即可求出双曲线的标准方程。在“焦点三角形”中，经常用到正弦定理、余弦定理、双曲线的定义。另外，还经常结合|PF1|-|PF2|=2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系。例 8?设双曲线 x2-3-=1 的左、右焦点分别为 F1，F2。若点 P 在双曲线上，且 OF，PF2 为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_。解析：由已知得 a=1，b=3，c=2，则 点评：先由对称性可设点 P 在右支上，进而可得|PF.|和|PF，2|，再由F，PF2 为锐角三角形可得|PF1|”+|PF2|2|F1F2|2，进而可得 x 的不等式，解不等式可得|PF，|+|PF2|的取值范围。
