1、一题多解一题多解,拓展思维拓展思维 陈俐青 摘 要 一题多解的教学方法，能反映学生对数学知识掌握的程度，又能考查学生的思维灵活度.纵观初中数学中考试题，有不少是一题多解的题型.因此，教师在日常课堂教学中，应关注习题或例题的一题多解教学，通过问题情境的设置或题型的转换，整合交汇各个知识点，让题目充满灵动与智慧，以激发学生自主学习的欲望，从而拓展思维能力.关键词 一题多解;思维;证明 数学学习固然离不开解决问题，而解决问题的关键在于紧扣问题的核心，捕捉到问题中有用的数学信息，结合学生已有的认知结构进行分析，获得解题方法，这是优化学生认知结构，提高解题能力，培养数学思维的过程.特别是一些看似复杂的问
2、题，却有多种解决方法，教师要引导学生发现问题的特征，寻找解题的突破口，根据数学模型，逐层深入、循序渐进地进行解题，以培养学生的思维能力.本文笔者结合一道一题多解的证明案例，进行拓展分析，谈谈如何在一道题中巧妙地运用数学思想，激发学生学习的内驱力，以提升其思维能力.问题 如图 1，点 O 在线段 AB 上，AO=2，OB=1，OC 为射线，且BOC=60，动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从点 O 出发，沿射线 OC 做匀速运动，若运动时间是 t 秒.（1）当 t=秒时，则 OP=_，S=_;（2）当ABP 是直角三角形时，求 t 的值;（3）如图 2，当 AP=AB 时，过点 A 作 AQ
3、BP，并使得QOP=B，求证：AQBP=3.分析：本题题干简洁明了，结构合理，图像清楚，内涵较丰富，问题的梯度也一目了然，是一道集知识与思想于一体的运动综合题.第（1）问的起点比较低，当 t=秒时，则 OP=1，S=.第（2）问把方程思想和分类讨论思想融于一体，当ABP 为直角三角形的时候，因为A 第（3）问的解题入口比较宽，解题方法也有多种，但这一问对学生思维的广度和深度提出了较高的要求，也是压轴题区分学生水平能力的典型表现.在解题时，可捕捉结论中的數学信息，以确定思维的方向，将问题中的数量关系转化为几何的关系，实现条件与结论的互相交流.隐含信息：待证明的结论 AQBP=3 可转化成比例式=
4、，通过包含线段 AQ 与长度为 3 的线段的三角形，与包含线段 BP 与长度为 1 的线段的三角形相似而对应的线段成比例来获得隐藏信息.证法 1 连接 PQ，设 AP 与 OQ 相交与点 F（如图 3）.因为 AQBP，所以QAP=APB，因为 AP=AB，所以APB=B，所以QAP=B.又QOP=B，所以QAP=QOP，因为QFA=PFO，所以QFAPFO，故=，即=.又PFQ=OFA，所以PFQOFA，3=1.因为AOC=2+B=1+QOP，又B=QOP，所以1=2，故2=3，可得APQBPO，=，所以 AQBP=APBO=31=3.证法 2 连接 PQ（如图 4）.同上可证QAP=QOP
5、.所以 Q，A，O，P 四点同圆，有3=1.同上可证2=3，所以APQBPO，=，所以 AQBP=APBO=31=3.隐含信息：结论 AQBP=3 还可转化成比例式=，即可通过含有线段 AQ 与长度为 2 的线段的三角形和含有线段 BP 与长度为的线段的三角形相似的对应线段成比例获得.证法 3 过点 B 作 BEAP 交 PO 的延长线于点 E（如图 5）.易知有APOBEO，所以=，因为 AP=AB=3，所以 BE=.同上可证AOQ=OPB，又QAO+OBP=180，EBP+APB=180，OBP=APB，所以QAO=EBP，故QAOEBP，=，即 AQBP=BEAO=2=3.证法 4 过点
6、 B 作 BEOP 交 AP 的延长线于点 E（如图 6）.则有=，因为 AP=AB=3，所以 PE=，同上可证：AOQ=OPB，因为BEOP，所以EBP=OPB，AOQ=EBP.又QAO+OBP=180，EPB+APB=180，OBP=APB，所以QAO=EPB，故有QAOEPB，=，即 AQBP=PEAO=2=3.隐含信息：结论 AQBP=3 又可以转化成比例式=，根据以上证明思路，构造相似三角形而获得求证.关于线段的乘积问题，最常用的解题方法就是确定好位置以后寻找相似，怎样根据已有条件作出合理的辅助线，找出相似三角形是本题的解题突破口.上述几种解题思路是常用的解题思路，虽然解法不一样，但都是以 AQBP=3 的隐含信息作为解题思路的出发点，找到解决问题的突破口，即相似三角形，即可论证.当然，本题还有其他论证方法，笔者不再一一赘述.实践证明，解题方法越多，对思维水平的要求越高.有高度活跃的数学思维才能有开阔的解题思路，学生运用自己的知识结构，突破条条框框的约束，用发散性思维探索出多种解题办法，既锻炼了解题能力，又刺激了思维的发展.因此，教师应在适当的时候，给予学生充分的肯定与鼓励，这样有助于让学生对数学学科产生浓厚的学习兴趣，能在培养学生思维能力的同时有效地提升数学核心素养.
