1、第二章 函 数考点要求（一）函数1了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。 2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数3了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题4理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性5理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值6会运用函数图像理解和研究函数的性质（二）指数函数1了解指数函数模型的实际背景2 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3理解指数函数的概念，会求与指数函数性
2、质有关的问题4 知道指数函数是一类重要的函数模型（三）对数函数1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题 3知道对数函数是一类重要的函数模型4了解指数函数与对数函数互为反函数（）（四）幂函数1了解幂函数的概念2结合函数，的图像，了解它们的变化情况（五）函数与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数（六）函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的
3、增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用3能利用给定的函数模型解决简单的实际问题第一节 函数的概念与表示自主学习1映射的定义：设是两个非空集合，如果按照对应法那么，对于集合中的任意一个元素，在集合都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作：2一一映射：对于从集合到集合的映射，假设中的任意一个元素在中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的映射叫作从集合到集合的一一映射3象与原象：对于给定的一个集合到集合的映射，且，元素与元素对应，那么元素叫做元素的
4、象，元素叫做元素的原象设原象组成的集合为，那么有，设与原象对应的象组成的集合为，那么4函数的概念：如果、都是非空的数集，那么从集合到集合的映射：叫做到的函数原象的集合叫做函数的定义域，象的集合叫做函数的值域5.函数的三要素：定义域；值域；对应法那么在这三要素中，值域可以由定义域和对应法那么唯一确定，故可以说函数只有两要素两个函数是同一个函数的条件是：它们的三要素均相同教材透析 知识点1 映射是特殊的对应，其特殊性在于，它只能是“一对一 或“多对一的对应故判断一个对应是不是映射的方法是：首先检验集合中的每一个元素是否在集合中都有象，然后看集合中每一个元素的象是否唯一知识点2 函数是特殊的映射，其
5、特殊性在于，集合和集合只能是非空数集函数是映射，但是映射不一定是函数；函数不一定都有解析式知识点3 当且仅当两个函数的三要素均相同时，才是同一个函数知识点4 函数定义域一般有两种形式：即自然定义域和限定定义域对于来自于实际问题中的函数，其定义域要符合问题的实际，属于限定定义域；自然定义域是函数自身的自变量的取值范围，有以下几种情况：分母不等于零；偶次根式中被开方数大于零；对数的真数和底数大于零，且底数不等于1；指数式中，指数为零时，底数不能为零典例剖析【题型1】求函数值【例1】如果函数对任意都有，试求的值. 【解析】对任意，总有f，当时应有，即，.又，故有得，. .【点评】这是一个抽象函数的求
6、值问题，关键是有一只条件确定的值，求出函数解析式【变式与拓展】1. （2023年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，假设那么 .【解析】由得，所以，那么【题型2】 求函数解析式 【例2】设是定义在上的函数，对一切均有，当时，求当时，函数的解析式.【解析】设，那么，又对任意的，有，又时，.【变式与拓展】2. 如果，求一次函数的解析式.【解析】设，那么.由于该函数与是同一个函数，且，.当时，；当时，b=1+或.【题型3】 分段函数【例3】如右图，在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动，设点移动的路程为，的面积为.（1）求的面积与移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象
7、，并根据图象求的最大值.【解析】（1）这个函数的定义域为 .当时，；当时，；当时，.这个函数的解析式为 （2）其图形如下列图： 由图知，的最大值为 .【点评】这是一个分段函数的球解析式问题，要注意在不同条件以下出对应的关系式，最后结果要写成分段函数的形式，注意自变量的取值范围【变式与拓展】3. 函数|的图象是【解析】函数化简得，所以选B.能力训练一、选择题1（2023湖北）设，那么的定义域为 （B） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是，那么实数a的取值范围是 （ B ）A.aB. C. D.3.（2022湖北）f（）=，那么f（x）的解析式可取为（） A. B. C. D. 4.（2
8、023江西）函数的定义域为 （ D ）A B CD5.某种型号的 自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2022元降到1280元，那么这种 平均每次降价的百分率是 （ D ）A.10%B.15%C.18%D.20%6（2023年广东）函数的定义域是 ( B ) A. B. C. D.二 填空题7函数y=的定义域为，值域为.8（2022浙江文）那么不等式的解集是.9（2023年辽宁）设，那么.10.设函数f（x）=，那么使得的x的取值范围是 .三 解答题11. ( 2023年重庆)定义域为的函数满足，（1）假设，求f(1)；又假设，求；（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式.【解
9、析】（1）因为对任意，有，所以，又由，得，即.假设，那么，即 .（2）因为对任意，有，又因为有且只有一个实数，使得，所以对任意，有在上式中令，有又因为，所以，故或.假设，那么，即.但方程有两个不同实根，与题设条件矛质，故.假设，那么有，即，易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为.12.某市有小灵通与全球通两种 ，小灵通 的月租费为25元，接听 不收费，打出 一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的局部为每分钟收费0.1元，缺乏1 min按1 min计算（以下同）.全球通 月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.假设某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 m
10、in以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为. 问：根据他的通话次数应该选择什么样的 才能使费用最省？（注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min）【解析】设小灵通每月的费用为元，全球通的费用为元，分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x，那么， . 令，即，解得.总次数为.故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通. 第二节 函数的单调性自主学习1. 增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值、，当
11、时，都有（或都有），那么就说在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数在某个区间上是增函数（或减函数），就说在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间.如函数是增函数那么称区间为增区间，如函数为减函数那么称区间为减区间.2. 函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，那么称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，那么称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，那么称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，那么称函数在该区间上单调递减.（3
12、）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的根本途径.3. 讨论复合函数单调性的根据：设，都是单调函数，那么在上也是单调函数.（1）假设是上的增函数，那么与的增减性相同；（2）假设是上的减函数，那么的增减性与的增减性相反.4.判断函数单调性的方法：定义法，导数法，图像法，特殊值法（主要用于解选择题或填空题）.5.函数单调性的应用：比较函数值的大小，求某些函数的值域，解证某些不等式，讨论根的分布等.教材透析1 判断函数单调性：（1）定义法：给定区间上的函数，假设对，且，都有（或）那么称函数在上是增函数（或减函数）.与定义等价的判断方法：，假设（或），那么称函数在上是增函数.2.导数法：给
13、定区间上的函数，求其导数，对于，假设，那么函数在上是增函数（或减函数.3.函数的单调区间：函数的单调区间可能是连续的，也可能是分散的，分散的单调区间中间用“，分开，如的减区间，不能写成. 4.函数的最值：函数的最值是是函数值域中的特殊值，故求函数最值的方法与求值域的方法差不多，要考虑取“=的条件是否满足.典例剖析【题型1】函数单调性的判断与证明【例1】定义在上的函数，当时，且对任意的、，有.（1）求证：； （2）求证：对任意的，恒有；（3）求证：是上的增函数； （4）假设，求x的取值范围.【解析】（1）证明：令，那么，又，.（2）证明：当时，f（x）=，又时，时，恒有.（3）证明：设，那么，.
14、，又，是上的增函数.（4）解：由，得，又是上的增函数，.【点评】解此题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“是证明单调性的关键，这里表达了向条件化归的策略.【变式与拓展】1. 设函数，求证：当且仅当时，在内为单调函数；【解析】，当时，当时，由，得； 由得； 当时，在上为减函数，在上为增函数， 当时，在 上不是单调函数. 综上，当且反当时，在上为单调函数.【题型2】 利用单调性讨论参数的范围 【例2】函数）的图象与函数的图象关于点对称.（1）求m的值；（2）假设在区间上为减函数，求实数a的取值范围.【解析】（1）设为函数图象上一点，点关于的对称点为，那么有，且.点在上，.消去、代入，得，整理，得，m=.（2），设、，且，那么对一切x1、x2（0，2恒成立.对一切、恒成立.由，得【变式与拓展】2 .（2022广东
