1、天道酬勤大一高数期末考试试题大一高数期末考试试题高数试题一填空题共5小题，每题4分，共计20分11lim(ex)xx0x2.211x1x201xexexdxetdtxx2.3设函数yy(x)由方程1xy确定，那么tf(t)dtf(x)f(0)1fx1.4.设可导，且，那么fx.5微分方程y4y4y0的通解x0dydx为.二选择题共4小题，每题4分，共计16分1设常数k0，那么函数f(x)lnxxke在(0,)内零点的个数为.(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2微分方程y4y3cos2x的特解形式为.AyAcos2x;ByAxcos2x;CyAxcos2xBxsin2x;DyAsi
2、n2x.3以下结论不一定成立的是.xfxdxfxdxc,da,bcaA假设,那么必有;B假设f(x)0在a,b上可fxdx0积,那么;C假设fx是周期为T的连续函数,那么对任意常数a都有abdbaTafxdxfxdx0Ttftdtfx0;D假设可积函数为奇函数,那么也为奇函数.4.设xfx1e1x1x23e,那么x0是f(x)的.(A)连续点;(B)可去间断点;(C)本页总分值12分本页得分跳跃间断点;(D)无穷间断点.三计算题共5小题，每题6分，共计30分1计算定积分20x3exdx222计算不定积分xsinxdxcos5x.xa(tsint),t2处的切线的方程.求摆线ya(1cost),
3、在设F(x)cos(x2t)dt0x，求F(x).5设xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn，求n.四应用题共3小题，每题9分，共计27分1求由曲线y过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.x2与该曲线222设平面图形D由xy2x与yx所确定，试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积.设a1,f(t)aat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最小并求最小值.五证明题7分t1f(0)=f(1)0,f()1，2设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导且试证明至少存在一点(0,1),使得f()=1.一填空题每题4分，5题共20分：11lim(ex)x0t2xx2e.
4、2112x01x1x201xexexdx4e.3设函数yy(x)由方程xxy1dyedtx确定，那么dx12x2tf(t)dtf(x)f(0)1e1.4.设fx可导，且1，2x那么fxe.5微分方程y4y4y0的通解为y(C1C2x)e.二选择题每题4分，4题共16分：1设常数k0，那么函数内零点的个数为B.f(x)lnxxk(0,)e在(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2微分方程y4y3cos2x的特解形式为CyAcos2xyA；BAxcos2x；CyAxcos2xBxsin2x；DyAsin2x3以下结论不一定成立的是Ax(A)(A)假设c,da,b,那么必有dcfxdxfx
5、dxabb;fxdx0a,bf(x)0a(B)(B)假设在上可积,那么;(C)(C)假设fx是周期为T的连续函数,那么对任意常数a都有aTafxdxfxdx0T;(D)(D)假设可积函数fx为奇函数,那么x0tftdt也为奇函数.4.设fx1e1x1x23e,那么x0是f(x)的C.(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三计算题每题6分，5题共30分：1计算定积分02x3exdx2.解：设x2t,那么20x3exdx21t12tedttdet0220-22221tetetdt002-22131xsinxe2ete2dx50222cosx-22计算不定积分.解：xs
6、inx111xdxdxxd()4cos5xcos4x4cos4x4cosx-3x12(tanx1)dtanx44cosx4xa(tsint),x113tanxtanxC44cosx124-33求摆线ya(1cost),在t(a(1),a)2处的切线的方程.解：切点为2-2kdyasintdxta(1cost)t21-2yaxa(1)yx(2)a22.-2切线方程为即24.设F(x)cos(x2t)dt0x，那么F(x)2xcosx(2x1)cos(xx).5设xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn，求n.1nilnxnln1()ni1n-2解：n1i1limlnxnlimln(1)
7、ln(1x)dx0nnnni1-2=xln(1x)10x01故2ln21limxnen=1dx2ln211x-24e四应用题每题9分，3题共27分1求由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.解：x0,y0)，那么过原点的切线方程为设切点为xy1x2x02，x0,y0)在切线上，带入切线方程，解得切点为x04,y02.-3由于点过原点和点(4,2)的切线方程为面积y22-3s2023(y222y)dy=3-32或s201x2xdx(24122xx2)dx223222设平面图形D由xy2x与yx所确定，试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：VV1V2(11y)d
8、y(2y)2dy012212101y12(y1)2dy-601112(y1)32()043-343法二：V=102(2x)(2xx2x)dx010-52(2x)2xx2dx2(2xx2)dx14(22x)2xx222xx2dx033241221(2xx)210433214122232323-43.设a1,f(t)aat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最t小并求最小值.解:由f(t)atlnaa0得t(a)1lnlna.lna-3又由t(a)lnlna10得唯一驻点aee2a(lna)-3当aee时,t(a)0;当aee时,t(a)0,于是aee为t(a)的极小值点.-2故aee
9、为t(a)的最小值点,最小值为t(ee)1lne11.ee-1五证明题7分1f(0)=f(1)0,f()1，2设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导且试证明至少存在一点(0,1),使得f()=1.证明：设F(x)f(x)x，F(x)在0,1上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0,有F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,-21111111f()=11F(=)(-)f=1-=，2222又由2，知2在2上F(x)用零点定理，11F(1)F()=-022根据，-在至少存在一点，使得1F()，=0(,1)(0,1)F(0)=F()=02,由ROLLE中值定理得至少存在一点(0,
10、)(0,1)使得F()=0即f()1=0，证毕.-3可知1(，1)2内扩展阅读：大一高数期末考试题电卓期末高数模拟考试一、单项选择题(本大题有4小题,每题4分,共16分)1.设f(x)cosx(xsinx),那么在x0处有().Af(0)2Bf(0)1Cf(0)0Df(x)不可导.2.设(x)1x1x，(x)333x，那么当x1时.A(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；B(x)与(x)是等价无穷小；C(x)是比(x)高阶的无穷小；D(x)是比(x)高阶的无穷小.3.假设F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f(x)0，那么.A函数F(x)必在x0
11、处取得极大值；B函数F(x)必在x0处取得极小值；C函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线yF(x)的拐点；D函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线yF(x)的拐点。4.设f(x)是连续函数，且f(x)x210f(t)dt,那么f(x)(x2x2A2B22Cx1Dx2.二、填空题本大题有4小题，每题4分，共16分25.lim(13x)sinxx0.6.cosxx是f(x)的一个原函数,那么f(x)cosx.xdxlim2227.nn(cosncosncos2n1n).12x2arcsinx111x2dx8.2.三、解答题本大题有5小题，每题8分，共40分9.设
12、函数yy(x)由方程exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).求110.x7x(1x7)dx.设f(x)xxe，x0求11.2xx2，0x113f(x)dx)1012.设函数f(x)连续，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A为常数.求1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程满足四、解答题本大题10分14.上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题本大题10分15.过坐标原点作
13、曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题本大题有2小题，每题4分，共8分16.设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q0,1，q1f(x)dxqf(x)dx00.17.设函数f(x)在0,上连续，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.提F(x)示：设0f(x)dx一、单项选择题(本大题有4小题,每题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题本大题有4小题，每题4分，共16分1cosx2()ce635
14、.6.2x.7.2.8.三、解答题本大题有5小题，每题8分，共40分9.解：方程两边求导xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)x0,y0，y(0)77x6dxdu10.解：ux1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C7711.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dxxd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd412.解：由f(0)0，知g(0)0。x1xtu2e31g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x
