1、 第四节第四节 中值定理中值定理 洛必达法则洛必达法则 一、中值定理一、中值定理 二、洛必达法则二、洛必达法则 一、中值定理一、中值定理 定理定理2-1 （罗尔（罗尔(Rolle)中值定理）中值定理）如果函数如果函数 f(x)在闭区间在闭区间 a,b上连续，在开区间上连续，在开区间 (a,b)内可导，且内可导，且 f(a)=f(b),则在开区间则在开区间(a,b)内至少内至少 存在一点存在一点 (a b),使得使得 f()=0 成立。成立。证明证明 （1）若函数）若函数 f(x)在在 闭区间闭区间 a,b上为常数，上为常数，则则 f(x)=0，因而，因而，(a,b)内内 任何一点都可取作任何一
2、点都可取作 。（2）若函数若函数 f(x)在在 a,b 上上 不是常数不是常数,必存在最大值必存在最大值 M 和和 最小值最小值 m，且，且 M 与与 m 至少有一个不等于至少有一个不等于 f(a)。x y o a 1 b C y=f(x)不妨设不妨设 Mf(a),则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得 f()=M。由于。由于(a,b),故故 f()存在。存在。而而 f()=M，所以，当，所以，当 x 足够小时，足够小时，f(+x)-f()0,若若 若若 二者又相等，所以二者又相等，所以 f()=0 成立。成立。00()()()()()limlimxxfxffxffxx (
3、)()0,0fxfxx 0()()lim0 xfxfx()()0,0fxfxx 0()()lim0 xfxfx 罗尔中值定理的几何意义：罗尔中值定理的几何意义：一段连续曲线一段连续曲线 y=f(x)除除 端点外，处处有不垂直于端点外，处处有不垂直于 x 轴的切线（即可导），且轴的切线（即可导），且 在两个端点处的纵坐标相等（即在两个端点处的纵坐标相等（即 f(a)=f(b)），则在该），则在该 段曲线上至少有一点段曲线上至少有一点(,f()的切线与的切线与 x 轴平行。轴平行。例例2-26 已知已知 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)。不求导，判断方。不求导，判断方 程程 f (x)=0
4、 的实根个数和范围。的实根个数和范围。解解 f(x)的连续性和可导性是明显的，且的连续性和可导性是明显的，且 f(1)=f(2)=f(3)=0，故在区间，故在区间1，2、2，3上均满足罗尔中值定上均满足罗尔中值定 理的条件，则在（理的条件，则在（1，2）内至少存在一点）内至少存在一点 1，使得，使得 f (1)=0；在（；在（2，3）内至少存在一点）内至少存在一点 2，使得，使得 f (2)=0。而。而 f (x)=0 是一元二次方程，最多有两个实是一元二次方程，最多有两个实 根，分别在开区间（根，分别在开区间（1，2）、（）、（2，3）内。）内。拉格朗日，法国数学家、物理学家。拉格朗日，法国
5、数学家、物理学家。1736 年年1月月25日生于意大利西北部的都灵，日生于意大利西北部的都灵，1813年年4月月10日卒于巴黎。日卒于巴黎。19岁就在都灵岁就在都灵 的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等 周问题”的过程中，他用纯分析的方法发周问题”的过程中，他用纯分析的方法发 展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫
6、廷中应有“欧洲最邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了久。在此期间他完成了分析力学分析力学一书，建立起完一书，建立起完整和谐的力学体系。整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。工作。定理（拉格朗日定理（拉格朗日(Lagrange)中值定理）中值定理）如果函
7、数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间 a,b 上连续，在开区间上连续，在开区间 (a,b)内可导，则在开区间内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 (a x0。由条件（由条件（1）知，函数）知，函数 f(x)、g(x)在区间在区间 x,x0 上上 满足柯西中值定理的条件（若在满足柯西中值定理的条件（若在 x0 点不连续，则补充点不连续，则补充 定义定义 f(x0)=0,g(x0)=0），则至少存在一点），则至少存在一点 (x0,x)，使得，使得 当当 xx0 时，必有时，必有 x0，所以，所以 00()()()()()()()()f xf xff xgg xg xg x000
8、0()()()()limlimlimlim()()()()xxxxxxxf xfffxg xggg x 将将 xx0 改为改为 x，结论仍成立。，结论仍成立。因为，设因为，设 ，则当，则当 x 时，时，t 0。故。故 将条件（将条件（2）改为）改为 ，即，即 为为 型不定式，结论也成立。型不定式，结论也成立。1xt00lim()lim()xxxxf xg x()()f xg x01()limlim1()xtff xtg xgt 20211lim11tfttgtt ()lim()xfxg x 例例2-28 求求 解解 设设 f(x)=e2x-1,g(x)=3x。两个函数满足。两个函数满足洛必达法
9、洛必达法 则则中条件（中条件（1）、（）、（2），且），且 f (x)=2e2x,g (x)=3。由于由于 所以，根据所以，根据洛必达法则，洛必达法则，201lim3xxex220001()22limlimlim3()33xxxxxefxexg x200()22limlim()33xxxfxeg x0()0 例例2-29 求求 解解 注意：注意：在求极限过程中，在求极限过程中，洛必达法则可多次使用，洛必达法则可多次使用，但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。例例2 2-3030 求求 解解 0sinlimxxx00sin(sin)limli
10、m()xxxxxx0coslim1xxcos010()0201 coslim3xxx2001 cossinlimlim36xxxxxx0coslim6xx16 型未定式解法型未定式解法 方法：方法：把它们转化成把它们转化成 或或 型后，再用型后，再用洛必达法洛必达法 则求极限。则求极限。型型 例例2 2-3131 求求 解解 000,0,1,000方法方法,10 .0100 或或0limlnxxx(0)00lnlimlnlim1xxxxxx021lim1xxx0lim()xx0 注意：注意：此题若变形为此题若变形为 ，则转化成，则转化成 型型 但但 ，不利于求极限。，不利于求极限。因此，把因此
11、，把 型不定式转化成型不定式转化成 型还是型还是 型应型应 根据所给函数而定。根据所给函数而定。总的原则是分子、分母求导越方便，求导以后的新总的原则是分子、分母求导越方便，求导以后的新 函数求极限越方便为宜。函数求极限越方便为宜。1lnxx00000221(ln)11()ln(ln)xxxxxx -型型 例例2-32 求求 解解 0lim(csccot)xxx0101 .0000 方法方法 001coslim(csccot)lim()sinsinxxxxxxx01 coslimsinxxx0sinlimcosxxx0()型型 例例2-33 求求 解解 设设 ，则，则 所以所以 000,1,方法
12、方法 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 1lim 1xxx(1)11xyx1lnln 1yxxlimlnxy1limln 1xxx1ln 1lim1xxx1lim11xx11lim 1xxex 例例2-34 求求 解解 设设 ，则，则 所以所以 0(0)sinxyxlnsinlnyxx0lim lnxy0lim(sin ln)xxx0lnlimcscxxx01limcsccotxxxx0sinlimtanxxxx0sin0lim1xxxsin0limxxx 例例2-35 求求 解解 设设 ，则，则 所以所以 ()2()2lim(tan)xxx0()()2(tan)xyxln()ln(tan)2yxx()2ln(tan)lim12xxx22()2()sec2limtanxxxx2()22()2limsin2xxx()24()2lim2cos2xxx0()()22lim lnlim()ln(tan)2xxyxx()2()2lim(tan)1xxx2()2()2limsincosxxxx其他不定式其他不定式:解决方法解决方法:通分通分 转化转化 000取倒数取倒数 转化转化 0010取对数取对数 转化转化 作业作业:习题二习题二 34-40
