1、“平行线的识别与特征平行线的识别与特征”复习点拨复习点拨 周太军 刘乐爱 平行线的识别与特征是几何学的基础知识，是后续学习的基础，其地位相当重要.为了让同学们更好地掌握平行线的识别与特征，建议从以下两个方面来复习.一、掌握平行线的识别与特征（一）平行线的识别：1.平行线的主要识别方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.2.平行线识别的拓展：（1）利用定义；（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行，即 ab，cb，则 ac；（3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行，即 ab，cb，则 ac.3.如果从角的关系（
2、同位角相等，内错角相等，同旁内角互补）得到的结论是两直线平行，那么用平行线的识别方法找平行条件.例 1 如图 1，请你添加一个关于角的条件，使得直线 AB 与 CD 平行.分析：要找 AB 与 CD 平行的条件，因为 AB 与 CD 被图中的其他直线所截，分析它们与截线构成的角的关系，找出一个符合平行的条件即可.解：要使 ABCD，只需下列条件之一成立即可.（1）以 AD 为截线，D+BAD=180；（2）以 AC 为截线，CAB=ACD；（3）以 BC 为截线，DCB+B=180；（4）以 CF 为截线，DCF=BFC 或DCF+AFC=180；（5）以 AE 为截线，DEA=BAE 或AE
3、C+BAE=180.评注：（1）解决此问题的关键是确定截线，然后找出符合平行条件的角.（2）这是一个探究题设、结果不唯一的开放性问题，解答这类问题，有利于培养同学们的发散思维能力.（二）平行线的特征：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.例 2 如图 2，ADBC，BD 平分ABC，AABC=21，求ADB 的度数.解：因 ADBC，所以A+ABC=180.因AABC=21，所以A=2ABC.所以ABC=60.因 BD 平分ABC，所以DBC=1/2ABC=30.因 ADBC，所以ADB=DBC=30.评注：解题的关键是从复杂图形中找出可应用平行线的特征的基
4、本图形.当以AB 为截线时，A 与ABC 为同旁内角；当以 DB 为截线时，ADB 与DBC 为内错角.我们一定要学会识图，正确利用平行线的特征，再结合已知条件得出结论.二、理解平行线的识别与特征的区别和联系 1.平行线的识别与特征的相同点：（1）几何图形相同：都是两直线被第三条直线所截时形成的“三线八角”；（2）两者都以两直线、同位角、内错角、同旁内角为主线，又都以平行、相等或互补为关键词；（3）两者都以“三线八角”内容为基础，又都是“三线八角”内容的提高.2.平行线的识别与特征的区别：（1）因果关系不同：识别以角（同位角、内错角、同旁内角）相等或互补为“因”，以两直线平行为“果”，且是一“
5、因”致一“果”.（2）几何内涵不同：平行线的识别阐明的是两直线在什么条件下平行，是识别直线平行的依据；平行线的特征阐明的是“三线八角”中的两直线平行将会有怎样的结果.（3）几何概念的排列结构不同：平行线的识别是由角的相等或互补关系推出直线的平行关系，是从角到直线的推导过程；平行线的特征是由直线的平行关系推导出角的相等或互补关系，是由直线到角的推导过程.（4）几何特征与度量不同：平行线的识别是由角的度量关系（相等或互补）推出直线的位置关系（平行），而平行线的特征则相反.（5）应用不同：当已知“三线八角”中的三类角有相等或互补关系时，可根据平行线的识别得出两条直线平行的结论；当已知两条直线平行时，
6、可由平行线的特征得出相关的角相等或互补的结论.3.联系：（1）平行线的识别和特征的条件和结论是互逆的形式.（2）在同一几何题的推理或解答中，往往既要利用平行线的识别，又要利用平行线的特征.常常是由平行线的识别得出的结论，又被当做平行线的特征的条件利用，反之亦然.（3）同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行，这四者之间存在下面的推理关系.平行线的识别与特征的综合应用有如下两种形式：（1）角与角的数量关系?圯线与线的位置关系?圯角与角的数量关系；（2）线与线的位置关系?圯角与角的数量关系?圯线与线的位置关系.同时在综合应用两者时，要正确区别两者的题设和结论，切忌混淆和乱用平行线的识别和特
7、征.例 3 如图 3，CDAB，FGAB，EDC=GFB，求证：DEBC.分析：要证明 DEBC，只需证 DE、BC 被 AB 截得的同位角相等或内错角相等或同旁内角互补；或只需证 DE、BC 被 AC 截得的同位角相等或同旁内角互补；或只需证 DE、BC 被 DC 截得的内错角相等.而由已知可知，只需证EDC=DCB即可.证明：因 CDAB，FGAB，所以 FGDC.所以GFB=DCB.因EDC=GFB，所以EDC=DCB.所以 DEBC.评注：本题的分析思路是要证 DEBC，只需证EDC=DCB，这叫“从已知，看未知”，如何才能得到EDC=DCB 呢？只好从已知中寻找，这叫“从已知，找可知”.当需知变成可知时，问题就解决了.这是一种分析问题和解决问题的方法，请同学们认真领会并熟悉这种证题方法.本题在证明过程中既运用了平行线的识别，又应用了平行线的特征.思考题如图 4，ABCD，同位角MEB 和MQD 的平分线 EF、QH 有何位置关系？为什么？提示：要判断 EF、QH 的位置关系，只要判断 EF、QH 被 MN 截得的同位角MEF、MQH 之间的数量关系即可.
