1、南莫中学2023届高三期中考试试题数 学（选修历史）(总分值160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每题5分,共70分请将答案填写在答题卡相应位置.1. 函数的最小正周期是 .2设集合，A=2，3，5，B=1，4，那么= .3复数（i是虚数单位）的实部是 .4命题“的否认是 .5假设，那么的最小值为 .6设a，b是两个非零实数，且ab，给出以下三个不等式：；其中恒成立的不等式是 .（只要写出序号）7假设向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为，那么|a+b|= .8. 在等比数列an中，a3a83a13=243，那么的值为 .9. 假设函数在上是增函数，那么m
2、的取值范围是 .10. 某地区为了了解7080岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查. 下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中，一局部计算见算法流程图，那么输出的S的值是 . 11. 假设正数a，b，c满足a2+2ab+4bc+2ca=16，那么a+b+c的最小值是 .12. 设等差数列的前n项和为，假设，那么 .13. 设是定义在上的减函数，且对一切都成立，那么a的取值范围是 .14. 设函数，那么以下命题中正确命题的序号是 .当时，在R上有最大值；函数的图象关于点对称；方程=0可能有4个实根；当时，在R上无最大值；一定存在实数a，使在上单
3、调递减. ABCDD1A1B1C1二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题总分值14分） 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，（1）求证：平面BC1D平面A1ACC1；（2）求二面角C1BDC的正切值16. （此题总分值14分）用3种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色. 求：（1）3个矩形颜色都相同的概率；（2）3个矩形颜色都不同的概率. 17. （此题总分值15分）函数满足（1）求常数c的值；（2）解不等式18（此题总分值15分）ABC的面积为，且，向量和是共线向量. （1）求角C的大小；（2）求ABC的三边
4、长. 19（此题总分值16分）二次函数的图象经过点(0,1)，其导函数，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数的图象上.（1）求数列an的通项公式an和；（2）设，Tn是数列bn的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.20（本小题总分值16分）函数(a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值.对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围；假设函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围.2023届高三期中考试数学（选修历史）参考答案及评分建议.【填空题答案】12 26 3. 45. 6. 7. 8. 3 9. 10.
5、11. 4 12. 13. 14. ABCDD1A1B1C1二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题总分值14分） 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，（1）求证：平面BC1D平面A1ACC1；（2）求二面角C1BDC的正切值【证明】（1）因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以ACBD，A1A平面ABCD，2分而平面ABCD，于是BDA1A. 4分因为AC、A1A平面A1ACC1，所以BD平面A1ACC1. 6分因为平面BC1D，所以平面BC1D平面A1ACC1. 8分【解】（2）设AC与BD交于点O，连C1O.因为C1O、
6、CO平面A1ACC1，而BD平面A1ACC1，所以C1OBD，COBD，于是是二面角C1BDC的平面角. 12分设正方体的棱长为a，所以CO.在RtC1OC中, 故二面角C1BDC的正切值为 14分16. （此题总分值14分）用3种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色. 求：（1）3个矩形颜色都相同的概率；（2）3个矩形颜色都不同的概率. 【解】此题的根本领件共有27个. 因为对3个矩形涂色时，选用颜色是随机的，所以这27个根本领件是等可能的. 4分（1）记“3个矩形颜色都相同为事件A，显然事件A包含的根本领件有3个，于是 8分（2）记“3个矩形颜色都不相同为事件B，假设三种颜
7、色分别是a，b，c，那么事件B只有可能是abc；acb；bac；bca；cab；cba，共6个根本领件，于是 12分【答】3个矩形颜色都相同的概率为，3个矩形颜色都不同的概率为. 14分17. （此题总分值14分）函数满足（1）求常数c的值；（2）解不等式【解】（1）由题意知0c1，于是0c20，从而， 6分（2），于是AC. 8分因为ABC的面积为，所以，即，解得 11分在ABC中，由余弦定理得所以 14分19（此题总分值16分）二次函数的图象经过点(0,1)，其导函数，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数的图象上.（1）求数列an的通项公式an和；（2）设，Tn是数列bn的前n
8、项和，求使得对所有都成立的最小正整数m. 【解】（1）由题意，可设.因为函数的图象经过点(0,1)，所以. 而，所以a=3，b=2. 于是. 3分因为点(n，Sn)均在函数的图象上，所以Sn.5分所以a1=S1=2，当时，故 8分（2） 10分所以当n1时， . 12分对所有都成立对所有都成立 故所求最小正整数m为6. 16分20（本小题总分值18分）函数 (a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值. 对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围；假设函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围.【证】（1）因为，所以函数f(x)在(0，a+b内至少有一个零点. 4分【解】（2）. 6分因为函数在处有极值，所以，即，所以a=2.于是. 8分本小题等价于对一切恒成立.记，那么因为，所以，从而，所以，所以，即g(x)在上是减函数.所以，于是b1，故b的取值范围是 12分，由得，即 14分因为函数f(x)在区间上是单调增函数，所以，那么有 即只有k=0时，适合，故m的取值范围是 18分
