1、吉林省通榆县第一中学2023学年高二上学期期中考试数学试卷(理)第I卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 命题“若x1，则2x+13”的逆否命题为（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则2. 已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（）A. B. C. D. 3. 与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（ ）A. B. C. D. 4. 下列命题中真命题的个数是（）xR，x4x2；若“pq”是假命题，则p，q都是假命题；命题“xR，x3-x2+10”的否定是“xR，x3-x2+10”A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知双曲线-=1（
2、a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D. 6. 已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围为 A. B. C. D. 7. 如图,已知长方体中,则直线和平面所成角的正弦值等于 A. B. C. D. 8. 如图，三棱锥S-ABC中，棱SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC，则二面角A-BC-S大小的正切值为（）A. 1B. C. D. 29. 长方体中,点E、F、G分别为、AB、的中点,则异面直线与GF所成角的余弦值为() A. B. C. 1 D. 010. 过抛物线y2=4x的焦点F作一直线交抛物
3、线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则=（）A. 2B. 1C. D. 11. 如图,是双曲线与椭圆的公共焦点,点A是,在第一象限内的公共点,若,则的离心率是()A. B. C. D. 12. 当双曲线M：-=1（-2m0）的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 第II卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若“x2+2x-30”是“xa”的必要不充分条件，则实数a的最大值为_ 14. 双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为_ 15. 若正四棱柱的底面边长为2，与底面成60角，则到底面的距离为_。16. 设抛
4、物线C：y2=4x的焦点为F，斜率为的直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|=_三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. (10分)如图在正方体AC1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点, (1)求证：D、B、F、E四点共面； (2)确定出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置. (3)求异面直线A1C1和BF所成角的余弦值18. (12分)如图，三棱柱中，各棱长均为且平面，、分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值19. (12分)已知双曲线的标准方程为，椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之和为. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的焦点为
5、，若点在椭圆上，且，试求的面积.20. (12分)已知椭圆的左焦点为,且椭圆上的点到点F的距离最小值为1求椭圆的方程；已知经过点F的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且,求直线l的方程21. (12分)如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD=90，PA平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4（）求证：BDPC；（）求二面角B-PC-A的余弦值22. (12分)已知椭圆C：的离心率为,椭圆C的长轴长为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在,求出k的值；若不存在,请说
6、明理由参考答案1.B 2.D 3.C 4.B 5. B 6. C 7. C 8. C 9.D 10.B 11.C 12.C13.答案-3解：x2+2x-30x-3或x1，“x2+2x-30”是“xa”的必要不充分条件，（-，a）（-，-3）（1，+），a-3，故答案为-3.14.答案6解：根据题意，双曲线的标准方程为：，则其焦点在x轴上，且a=，b=，故其渐近线方程为y=x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=1，解可得m=6；故答案为615.答案解：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，平面ABCD平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，A1C1平面ABCD，A1C1到底面
7、ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，AB1与底面ABCD成60角，B1B=，故答案为.16.答案解：由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y=（x-1），代入y2=4x并化简得3x2-10x+3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2= x1x2=1，|AB|=|x1-x2|=2=故答案为：17.解：（1）证明：连接，易有平行且等于，则四边形是平行四边形,则有,又E、F分别为D1C1、B1C1的中点,则，即有,故D，B，F，E共面;（2）在正方体AC1中，连接PQ，平面A1C1CA平面BDEF=PQ
8、,则,又A1C平面BDEF=R，RA1C，R平面A1C1CA，R平面BDEF,R是A1C与PQ的交点,如图;（3）取A1B1的中点M，连BM、FM，因为FMA1C1，所以MFB为两异面直线所成的角,设正方体棱长为a，则BM=BF=，所以cosMFB=.故异面直线A1C1和BF所成角的余弦值为18.（1）证明：因为且为的中点，所以，又在正三棱柱中，因为平面BCC1B1平面ABC，平面ABC，且平面BCC1B1平面ABC=BC，所以AM平面BCC1B1，因为平面BCC1B1，所以，因为，分别为，的中点，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，又因为平面AMB1，平面AMB1，所以BN平面AMB1.（
9、2）解:设，由（1）可知BO平面AMB1，所以为斜线在平面内的射影，所以为与平面所成的角，由题可知，所以为等腰三角形，作于，则为的中点，所以，由等面积法可知，在中，所以，所以直线与平面所成的角的余弦值为.19.解：（1）由题意设椭圆的方程为（ab0）双曲线的焦点为（0，4），离心率为e=2，椭圆的焦点（0，4），离心率e=a=5b2=a2-c2=9，椭圆的方程为,（2）设，则，即，20.解：（1）由题意可得c=1，椭圆上的点到点F的距离最小值为1，即为a-c=1，解得a=2，b=，即有椭圆方程为+=1；（2）当直线的斜率不存在时，可得方程为x=-1，代入椭圆方程，解得y=，则|AB|=3不成立
10、；设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=-，x1x2=，则|AB|=，即为=，解得k=1，则直线l的方程为y=（x+1）21.证明：（）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），所以PCBD（）由（1）知PCBD，且PA平面ABCD，显然,易证为面PAC的法向量，设面PBC的法向量=（a，b，c），所以所以面PBC的法向量=（6，4，1），cos=-因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，所以二面角B-PC-A的余弦值为22.解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，所以b2=a2-c2=4-3=1，故椭圆C的方程为（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，并整理，得（*）则，因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即x1x2+y1y2=0，又，于是，解得，经检验知：此时（*）式的0，符合题意所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O
