1、习题课（三） 圆锥曲线与方程1已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A2B.C. D.解析：选C由题可知yx与yx互相垂直，可得1，则ab.由离心率的计算公式，可得e22，e.2已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1 Bx22yCx2y Dx22y2解析：选A焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p24q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x，y，即p2x，q2y1，代入p24q得，(2x)24(2y1)，即x22y1.3已知直线ykx1与双曲线x21交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值为()A B或
2、C D解析：选B由直线与双曲线交于A，B两点，得k2.将ykx1代入x21得(4k2)x22kx50，则4k24(4k2)50，k25.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|AB|8，解得k或.4.我们把由半椭圆1(x0)与半椭圆1(xbc0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点若F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A.，1 B.，1C5,3 D5,4解析：选A|OF2|，|OF0|c|OF2|，b1，a2b2c21，得a.5.如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点其
3、四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B.C. D.解析：选D焦点F1(，0)，F2(，0)，在RtAF1F2中，|AF1|AF2|4，|AF1|2|AF2|212，所以可解得|AF2|AF1|2，故a，所以双曲线的离心率e，选D.6若过点A(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与椭圆E：y21都只有一个交点，且l1l2，则h的值为()A. B.C2 D.解析：选A由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0.设l1：ykxh，则由l1l2，知l2：yxh，将l1：ykxh代入y21得(kxh)21，即(12k2)x24khx2h220，由l1与椭圆E只有一个交点知16k2h24(12
4、k2)(2h22)0，即12k2h2.同理，由l2与椭圆E只有一个交点知，1h2，得k2，即k21，从而h212k23，即h.7已知双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的方程为_解析：因为双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，所以a2，由离心率为，可得，c2，所以b4，则双曲线的方程为1.答案：18已知A(0，4)，B(3,2)，抛物线yx2上的点到直线AB的最短距离为_解析：直线AB为2xy40，设抛物线yx2上的点P(t，t2)，d.答案：9已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.解析：法一：依题意，抛物线C
5、：y28x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0,4)，|FN|6.法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案：610如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若它的一个顶点恰好是抛物线x24y的焦点(1)求椭圆C的方程；
6、(2)直线x2与椭圆C交于P，Q两点，点P位于第一象限，A，B是椭圆C上位于直线x2两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)抛物线x24y的焦点是(0，)，b.由，a2b2c2，得a2，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yxt，联立得x22tx2t240，则x1x22t，x1x22t24.在1中，令x2，得P(2,1)，Q(2，1)四边形APBQ的面积SSAPQSBPQ|PQ|x2x1|2|x2x1|x2x1|.当t0时，Smax4.四边形APBQ面积的最大值为4.11(2023年北京高考)已知
7、抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解：(1)由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，1)设直线l的方程为ykx1(k0)，由消去y，得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0，n)，则， ，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，得n1或n3.所以以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)- 6 -
