1、专题九：立体几何 瓶窑中学 黄向军【考点审视】高考试卷中立体几何把考查的立足点放在空间图形上,突出对空间观念和空间想象能力的考查.立体几何的根底是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究,进而讨论几何体。因此高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查，以便审核考生立体几何的知识水平和能力。多面体和棱柱、棱锥、正多面体、球是空间直线与平面问题的延续和深化。要熟练掌握概念、性质以及它们的体积公式，同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为根本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题来解，会运用“割补法等求解。本章
2、主要考查平面的性质、空间两直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及空间角和距离、面积及体积。考试要求（）掌握平面的根本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想象它们的位置关系。（）掌握两条直线平行与垂直的判定、性质定理。掌握两条直线所成的角和距离的概念。（3）掌握直线和平面平行、垂直的判定、性质定理。掌握直线和平面所成的角、距离的概念。了解三垂线定理及其逆定理。（4）掌握两个平面平行、垂直的判定、性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两平面间的距离的概念。（5）会用反证法证明简单的问题。了解多面体的概念，了解凸多面
3、体的概念。（6）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。（7）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。（8）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的外表积、体积公式。【疑难点拔】1、 立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主。2、 高考直接考查线面位置关系，以多面体为载体考查线面间位置关系是今后命题的一种趋势。3、 求
4、二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视。4、 由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，到达快速准确解题的目的。5、 立体几何的证明与计算的书写格式要求非常严格，因此在平时的训练中要多加注意书写的格式的严密性。6、 （1995年全国文24、理23）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF DE，F是垂足。（1） 求证：AF DB；（2） （理）如果圆柱与三棱柱D-ABE的体积比等于3，求直线DE与平面ABCD所成的角。（文）求点E到截面ABCD的距离。评述：此题主要考查圆柱的概念，两异面
5、直线垂直、直线与平面的垂直、圆柱及棱锥的体积、直线与平面所成的角。主要考查空间想象能力和逻辑推理能力。分析此题考生答题失误大致有如下几点：（1） 缺乏清晰的空间形体观念，抓不住“DA、AE、EB三线两两垂直这个本质关系，解答过程中方向不明，层次不清，逻辑混乱现象均可能发生。（2） 未能找到DE与平面ABCD所成的角（3） 未能正确和准确地进行推理计算，随意列写各种关系，盲目换算。（4） 数值计算出现过失。专题九： 立体几何瓶窑中学 黄向军【经典题例】例1：在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点。将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，
6、GH与IJ所成的度数为（ ） A 90 B 60 C 45 D 0思路分析 将三角形折成三棱锥以后，HG与IJ为一对异面直线。过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD。所以ADF即为所求。故HG与IJ所成角为60简要评述 此题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。例2：正六棱柱ABCDEF-ABCDEF的底面边长为1，侧棱长为，那么这个棱柱的侧面对角线ED与BC所成的角是（ ）A 90 B 60 C 45 D
7、 30思路分析 连接FE、FD，那么由正六棱柱相关性质得FE/BC。在中，EF=ED=1，。在直角三角形EFE和EED中，易得EF=ED=。是等边三角形。即BC与DE所成的角为60。简要评述 此题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法。例3：如图，在底面边长为2的正三棱锥VABC中，E是BC的中点，假设的面积是，那么侧棱VA与底面所成的角的大小为：_ （结果用反三角函数值表示）。思路分析 作VO垂直AE，由正三棱锥VABC得O为中心。那么AE=2=，得VO=tanVAO=，得VA与底面所成的角的大小为arctanVABCE简要评述 此题主要考查正三棱柱的性质及直线与平面所成的角的作法与
8、求法。PABCDO例4：假设正三棱锥底面边长为4，体积为1，那么侧面和底面所成二面角的大小为：_ （结果用反三角函数值表示） 思路分析 设棱锥的高为h，如图那么V=，D为BC的中点，OD=易证为侧面与底面所成二面角的平面角，故。简要评述 此题主要考查三棱锥中的根本数量关系，考查二面角的概念及计算。例5：关于直角AOB在定平面内的射影有如下判断：（1）可能是0的角；（2）可能是锐角；（3）可能是直角；（4）可能是钝角；（5）可能是180的角。其中正确判断的序号是： （注：把你认为是正确判断的序号都填上）。思路分析 答案：1、2、3、4、5。简要评述 这是考核空间想象能力的问题。例6：如图，四棱锥
9、SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=。（1） 求证BC（2） 求面ASD与面BSC所成二面角的大小。SABCDS（3） 设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。DCBA思路分析 此题涉及到求二面角及异面直线所成角的问题，因此要先作出（找出）二面角的平面角及异面直线所成角，再求解。简要评述 此题主要考查直线与平面的位置关系等根本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。例7：正四棱柱ABCD-ABCD，如图，AB=1，AA=2，点E为CC的中点。ABCDEFA1B1C1D1ABCDEA1B1C1D1F（1） 证明：EF为BD与CC的公垂线；（2）
10、 求点D到面BDE的距离。思路分析 证明公垂线问题与求点到面的距离采用建立适当的空间坐标系，利用空间向量来证明及求解比较适合。简要评述 此题主要考查正四棱柱的性质及运用空间向量解决问题的能力。 SACB例8：在三棱锥SABC中，且AC=BC=5，SB=5，如图。证明：SCBC；（1） 求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（2） 求三棱锥的体积V。思路分析 由题意可以得是二面角的平面角，故在Rt 与Rt可求得。又由Rt可求得SA=，故可得V。简要评述 此题主要考查空间想象能力、灵活运用所学知识解决问题的能力。【热身冲刺】一、选择题：1一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，那么该圆锥的母线与底面
11、所成的角为（ ） （A）30 （B）45 （C）60 （D）752两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4cm、3cm ,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ） （A） （B） （C） （D）3等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30，那么四棱锥AMNCB的体积为（ ） （A） （B） （C） （D）34假设二面角为120，直线m,那么所在平面内的直线与m所成角的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D）5关于直线a、b 、及平面M、N，以下命题中正确的选项是
12、（ ） （A）假设a / M,b / M,那么a / b （B）假设a / M,ba,那么b M （C）假设a且那么 （D）假设那么6棱长为a的正方体中，连接相邻的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） （A） （B） （C） （D）7一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，那么此球的外表积为（ ） （A）3 （B）4 （C） （D）68 圆锥的底面半径为R，高为3R，它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A）2 （B） （C） （D）9在以下条件中，可判断平面与平行的是 （ ） （A）都垂直于平面 （B）内存在不共线的三点到的距离相等 （C）、m是内两条直线，且 / （D）、是两条异面直线，且10在正三棱柱ABCABC中，假设AB=BB，那么AB与CB所成的角的大小为 （A）60 （B）90 （C）105 （D）75二、填空题：11将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形。要使它们的面积之和最小，正方形的周长应为：_12某球体的体积与其外表积的数值相等，那么此球体的半径为：_13在正四棱锥PABCD中，假设侧面与底面所成二面角的大小为60，那么异面直线PA与BC所成角的大小为：_ （用反三角函数值表示）14把半径为3cm ,中心角为的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为：_三、解答题：15三棱柱ABC
