1、6.2算术平均数 几何平均数一、明确复习目标1.掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理;2.会用平均值定理求最大或最小值;3.能运用均值定理来揭示数量间或实际问题中的不等关系.二建构知识网络1根本不等式12，那么(3) ,(拓展内容)2 均值不等式:两个正数的均值不等式：三个正数的均值不等是：n个正数的均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,这是一个非常重要的不等式,许多题目可以从中找到解题途径3最值定理:设1如果x,y是正数,且积,那么xy时,2如果x,y是正数和,那么x=y时,运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等4利用均值不等式可以证明不等
2、式，求最值、取值范围，比拟大小等。此外还要掌握如下常用不等式;， 假设ab0,m0,那么 ；假设a,b同号且ab那么,等。三、双基题目练练手1. 2023浙江“ab0”是abb0, 求的最小值(3)求的最大值解(1)法一：直接利用根本不等式：当且仅当，即时等号成立说明：为了利用均值不等式，此题利用了“1的逆代换。法二：消元化为一元函数由得 x0，y0，a0 由0得y-b0 x+y当且仅当，即时，等号成立法三：三角代换.令，0， ， x+y=当且仅当时，等号成立(2)分析: 的分母(ab)b,而(ab)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐步进行：先对b求最小值，然后在对a求最小值 解法一:
3、 =(ab)+b2 +22 +=4(ab)b+16 当且仅当b=(ab)且(ab)b=2,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16 解法二: 当且仅当b=(ab)且,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16(3) (假设由无解“=不成立)令,可以证明y(u)在递减u=2,即x=0时,ymax=3 提炼方法：1.(1)题法一将“1利用回代,充分利用了倒数关系,巧妙灵活;2.法二,三是常用的两种消元方法,即代数消元和三角换元,要熟练掌握.3.在运用均值不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三等.凑出定值是关键!“=成立必须保证,假设有几步放缩,只要每步取等号的条件相同即可.【例2】ab+a+2b=
4、30,(a0,b0),求证:ab18.证明:法1:由,(a+2)(b+1)=32, ab=30-(a+2b)=34-(a+2)+2(b+1)法2:由,ab=30-(a+2b)18法3:由得【例3】:abcd,求证:.证明: a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d),题中出现了“和与“倒数和利用调和平均数与算术平均数的关系得: 【例4】 (2023北京)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量千辆/小时与汽车的平均速度v千米/小时之间的函数关系为：(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？精确到千辆/小时2假设要求在该时段内车流量超过10千辆/
5、小时，那么汽车的平均速度应在什么范围内？解：依题意， 由条件得整理得v289v+16000,即v25v640,解得25v0,y0,x+y=1, 求证:(1+)(1+)9(2)设实数x，y满足y+x2=0，0a1，求证：。证明:(1)法一: 左边(1+)(1+)=1+=1+=1+1+=9右边 (当且仅当x=y=时取“=号)法二： 令x= y=, 0左边(1+)(1+)=(1+)(1+)=1+=1+=1+1+8=9右边 02 =时，x=y=时取等号法三：x+y=1左边(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)5+4=9右边 (当且仅当x=y=时取“=号)(2) ，0a0,b0,a+b=4,求的最小值.解(1) 易知,否那么a=b代入a3+b3=0与矛盾.令a+b=t0,由1=(a+b)3-3ab(a+b),得,视a,b为方程 的根,由,得 为 (2) 由4=a+b得ab4.当且仅当a=b时取“=,所求最小值为.易错解:原式,最小值为8.
