1、211分段函数与绝对值函数随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之一、明确复习目标了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法二建构知识网络1.分段函数:定义域中各段的x与y的对应法那么不同,函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.三、双基题目练练手1.设函数fx=那么使得fx1的x的取值范围为 ( )A.，20，10B.，20，1C.，21，10D.2，01
2、，102(2023安徽)函数 的反函数是 A BC D3(2023启东质检)，那么以下函数图象错误的选项是( )4.2023全国函数的最小值为 ( ) A190 B171 C90 D455.2023北京市西城模拟函数fx=那么flg30lg3=_；不等式xfx110的解集是_.6. 2023浙江对,记那么那么函数的最小值是.7.函数,当a0时,fff(a)= 8.函数的值域 。 简答:1-4.ACDC; 4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-19|=|x-1|+|x-10|+|11-x|+|19-x|x-1+x-2+x-9+11-x+19-x|+|x-10|90
3、|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:5. flg30lg3=flg10=f1=2，fx1=当x3时，xx3102x5，故3x5.当x3时，2x10x5，故5x3.解集 x|5x56. 由，如右图 7.;8. 当x0时，x2+11；当x0时，x20时，x0, f(x)= (x)2(x+1)=x2(x1)=f(x)；当x=0时，f(0)=f(0)=0；当x0，不合题意，所以不存在当时，由2知0在值域内，值域不可能是，所以不存在故只有在1，上是增函数，即是方程有两个根即关于x的方程有两个大于1的实根设这两个根为那么即解得综上m的取值范围是【例4】设a为实数，设函数的最大值为g(a)。设t，求
4、t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；求g(a)；解：It=+,要使t有意义，必须1+x0且1-x0，即-1x1.t2=2+22,4,t0, t的取值范围是,2.由得=t2-1,m(t)=a(t2-1)+t=at2+t-a,t,2.()由题意知g(a)即为函数mt=at2+t-a, t,2的最大值.注意到直线t=-是抛物线m(t)= at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论.(1)当a0时，函数y=m(t), t,2的图像是开口向上的抛物线的一段，由t=-0知m(t)在,2上单调递增,g(a)=m(2)=a+2.(2)当a=0时，m(t)=t,t,2, g(a)=2.(3)当a0
5、时，函数y=m(t), t,2的图像是开口向下的抛物线的一段.假设t=-(0,，即a-，那么g(a)=m()=.假设t=-(,2，即a(-,-那么g(a)=m(-)=-a-.假设t=-(2,+ )，即a(-,0),那么g(a)=m(2)=a+2.综上有g(a)=核心步骤:(1) m(t)=a(t2-1)+t=at2+t-a,t,2.(2)求g(a)=m(t)max,按对称轴相对于区间,2的位置,对a分类分类讨论.【研讨.欣赏】(2023全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植本钱与上市时间的关系用
6、图二的抛物线段表示() 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=； 写出图二表示的种植本钱与时间的函数关系式Q=；() 认定市场售价减去种植本钱为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植本钱的单位：元/kg，时间单位：天)解：()由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=由图二可得种植本钱与时间的函数关系为g(t)=(t150)2100，0t300()设t时刻的纯收益为h(t)，那么由题意得h(t)=f(t)g(t)即h(t)=当0t200时，配方整理得h(t)=(t50)2100，所以，当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当20087.5可知，h
7、(t)在区间0,300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大思路点拨: 题()分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值.五提炼总结以为师1.分段函数、绝对值函数问题类型2.分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式。同步练习 211分段函数与绝对值函数【选择题】1.(2023山东)设，那么不等式的解集为 ( )A. B. C. D.2函数在，上单调递减，那么实数a的取值范围是 ( )A0,1 B0, C D3. 函数构造函数F(x)，定义F如下：当时，当时，那么 ( A有最小值1
8、，无最大值B有最小值0，无最大值C有最大值1，无最小值D无最小值，也无最大值【填空题】4.fx=那么不等式xfx+x2的解集是_.5.2023北京东城模拟定义“符号函数fx=sgnx=那么不等式x+2x2sgnx的解集是_.6.函数f(x)=|x22x3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，那么a= 。 简答提示:1-3. C DA; 4.分段解取并集x|x1; 5.，+;6. 由图象易知a=4。【解答题】7.求函数的反函数。 解： f(x)在R上是单调减函数， f(x)在R上有反函数。 y=x2+1(x0)的反函数是 (x1), y=1x(x0)的反函数是y=1x(x1), 函数f(x)的反
9、函数是注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。 8.设A=x|x|=kx+1,假设AR+=,AR-,求实数k的取值范围.解法1:方程|x|=kx+1的解是函数y=|x|和y=kx+1交点的横坐标,结合图形知,当直线y=kx+1在范围内时,方程有负根,且没有正根,故k1.解法2:由题意须 有解, 无解.中k=-1时无解,;中k=1时无解,k0时,假设那么有解,所以, k1.9. (2023浙江)函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x ()求函数g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|； ()假设h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的
10、取值范围解：I设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,那么 即 .点在函数的图象上. 即 故g(x).(II)由可得：当1时，此时不等式无解。当时，因此，原不等式的解集为-1, . (III) 当时，在-1,1上是增函数，当时，对称轴的方程为(i) 当时，解得。(ii)当时，1时，解得综上,10. 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量件之间大体满足关系： 其中c为小于96的正常数注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品其余为合格品每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出适宜的日产量1试将生产这种仪器每天的盈利额元表示为日产量件的函数；2当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解1当时，所以，每天的盈利额;当时，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件故，每天的盈利额.综上，日盈利额元与日产量件的函数关系为：2由1知，当时，每天的盈利额为0当时，令，那么故当且仅当，即时，等号成立所以i当时，等号当且仅当时成立ii 当时，由
