1、中国科学:数学2023年第53卷第2期:301324SCIENTIA SINICA Mathematica论文英文引用格式:Wang J,Ma X R.(1 xy,y x)-expansion formula and its applications(in Chinese).Sci Sin Math,2023,53:301324,doi:10.1360/SSM-2021-0167c 2022中国科学 杂志社(1 xy,y x)-展开公式与应用献给朱烈教授80华诞王瑾1,马欣荣21.浙江师范大学数学与计算机科学学院,金华 321004;2.苏州大学数学科学学院,苏州 215006E-mail:,
2、收稿日期:2021-08-27;接受日期:2021-12-28;网络出版日期:2022-04-25;*通信作者国家自然科学基金(批准号:12001492 和 11971341)和浙江省自然科学基金(批准号:LQ20A010004)资助项目摘要本文首先利用(f,g)-反演公式建立了关于任意解析函数F(x)在给定基n1k=0 x bk1 xkxn 0下所谓的(1 xy,y x)-展开公式.随后,通过考虑具体的F(x)以及参数xn和bn,不但证明了很多经典结论,如Rogers-Fine恒等式、Andrews四参数互反定理、Ramanujan11求和公式,而且建立了大量的q-级数变换与求和公式,并且得
3、到Andrews的WP Bailey引理的一种推广.关键词(f,g)-反演公式(1 xy,y x)-展开公式求和与变换WP Bailey 对Rogers-Fine 恒等式互反定理q-级数Lagrange 反演公式MSC(2020)主题分类33D15,05A301引言众所周知,古典Lagrange反演公式是法国数学家Lagrange25在18世纪中叶为解决开普勒行星运行轨迹问题而提出的,是函数论发展史上具有里程碑意义的数学结论(参见文献14、6,附录E和45,第7.32节).它的核心是给出函数表达式F(x)=n=0an(x(x)n(1.1)中系数an的值,即a0=F(0),且对于任意n 1,an
4、=1n!Dn1xn1(x)DxF(x)x=0王瑾等:(1 xy,y x)-展开公式与应用只要F(x)和(x)在x=0处是解析的,(0)=0,Dx表示通常意义下的求导算子.很显然,当(x)=1时,(1.1)退化为分析学理论中最常见的Taylor展开公式.根据复分析学家Henrici16的发现:Lagrange反演公式等价于组合分析学意义下的矩阵反演.这个发现说明矩阵反演也是函数展开不可或缺的研究方法.根据文献24,34,38给出的定义,组合分析学中的矩阵反演,通常是指一对无穷阶下三角矩阵A=(An,k)n,kN和B=(Bn,k)n,kN,其中N表示非负整数集,满足:当n ikAn,iBi,k=n
5、ikBn,iAi,k=n,k,(1.2)其中符号n,k表示通常的Kronecker-函数.诚然,我们将逆矩阵B记作A1.正如Gessel14所述,Lagrange反演公式在分析学和组合学中都占据着重要地位.在过去半个多世纪里,寻求建立古典Lagrange反演公式的一般形式或q-模拟(analogue)吸引了众多研究者的注意力2,8,15,23,24,39,40.围绕这一主题的问题和最新研究进展,读者可参阅Stanton40和Gessel14先后发表的综述文献.此处引用其中一些最具代表性的结论.(i)Carlitz在1973年发现了q-模拟(参见文献9,公式(1.11).随后Roman(参见文献
6、36,第253页,公式(8.4)通过q-哑算子法建立了如下公式:对于任意形式幂级数F(x),有F(x)=n=0 xn(q,x;q)nDnq,xF(x)(x;q)n1x=0,(1.3)其中Dq,x表示通常的q-导数算子.(ii)利用q-导数算子和Carlitz的q-模拟公式(1.3)及Rogers65求和公式(参见文献13,公式(II.20),Liu于2002年在文献27,定理2中建立了如下形式的q-展开公式:F(x)=n=0(1 aq2n)(aq/x;q)nxn(q,x;q)nDnq,xF(x)(x;q)n1x=aq.(1.4)(iii)Chu11以较系统的方式研究了各种函数的高阶q-导数计算
7、,得到如下形式的q-展开公式:F(x)=n=0(1 abq2n+)(a/x;q)nxn(q;q)n(bx;q)n+1+Dnq,xF(x)(bx;q)n+x=a,(1.5)其中参数 0,1.(iv)Gessel和Stanton15根据Henrici的观点Lagrange反演公式等同于矩阵反演建立了该反演公式的诸多q-模拟,其中之一为(参见文献15,定理3.7)F(x)=nk0ak(Apkqk;p)nk(q;q)nkqnkxn(1.6)当且仅当an=nk=0(1)nkq(nk+12)+nk(1 Apkqk)(Aqnpn1;p1)nk1(q;q)nkF(qk).(1.7)上述4个展开公式已经被证明在
8、q-级数理论的研究中起着非常重要的作用.稍加比较不难发现,q-展开公式(1.3)(1.5)的共同特点是:(1)F(x)的展开式右端求和通项里均包含一个相同形式的因子(b/x;q)n(ax;q)nxn,(1.8)302中国科学:数学第 53 卷第 2 期其中a和b是与自变量x无关的参数.这个共同形式的因子恰好是列参数平衡(well-poised,WP)q-级数最鲜明的特征.(2)q-导数的计算起着关键作用,尤其是具有封闭形式q-导数的函数所对应的q-展开公式对于q-级数研究是非常有用的工具.的确,从上面提到的文献11,13,27中可以清楚地看到这几个q-展开公式在建立q-级数变换公式中的具体应用
9、.这里需要特别指出的是,Gessel和Stanton15的方法与前3个展开公式的证明途径具有明显区别.事实上,他们秉承了Henrici16的观点,把基本超几何级数、函数展开和Lagrange反演公式结合起来,利用矩阵反演方法建立了如上的Gessel-Stanton展开式(1.6).这样做的好处是,避免了高阶q-导数的计算.能否用矩阵反演方法来重新研究前面3个q-展开公式是值得研究的问题.同时我们也注意到最近几年里,一些著名学者先后发表的、与Askey-Wilson多项式相关的展开公式,如文献20,定理2.2、30,定理1.5,命题1.8和4.1和21,定理2.6,都是将某些低阶rs级数通过高阶
10、r+ms+n级数(整数m,n 1)来表示.于是我们不禁要问:任意rs级数是否总可以被表示成更高阶的r+ms+n级数的线性组合?这个问题的一些初步、肯定性结论可参见文献20,定理2.8和2.9.实际上,这个问题是Gasper和Rahman在文献13,第2.2小节中一个一般性展开公式的反问题:用终止型的r+2r+1级数的线性组合来表示终止型的r+4r+3级数(参见文献13,(2.2.4).我们认为研究这个问题的意义在于,由Gasper和Rahman的有限展开式可以推导出q-级数理论的若干个非常重要的求和公式.本文围绕以上两个问题展开讨论,目的是从组合反演的角度出发建立新的q-展开公式(换言之,La
11、grange反演公式的q-模拟).为此需要借助文献32,42所给出的(f,g)-反演和(f,g)-展开公式.引理1.1(f,g)-反演公式,参见文献32,定理1.3)设f(x,y)和g(x,y)为复数域C上关于x和y的两个函数,且g(x,y)是反对称的,即g(x,y)=g(y,x).对C上任意给定的序列xnn0和bnn0,bi=bj(i=j),则无穷阶下三角矩阵(n1i=kf(xi,bk)ni=k+1g(bi,bk)1n,kN=(f(xk,bk)f(xn,bn)ni=k+1f(xi,bn)n1i=kg(bi,bn)n,kN(1.9)当且仅当函数f(x,y)和g(x,y)满足Jacobi恒等式g
12、(a,b)f(x,c)+g(b,c)f(x,a)+g(c,a)f(x,b)=0,(1.10)其中a,b,c,x C是任意的.(f,g)-反演公式还可以等价地表示成可用于建立序列变换的一种互反关系.引理1.2(参见文献42,引理2.2)在引理1.1给定的条件下,若函数f(x,y)和g(x,y)满足Jacobi恒等式(1.10),则序列Fnn0和Gnn0满足的线性关系式Fn=nk=0Gkf(xk,bk)k1i=0g(bi,bn)ki=1f(xi,bn)(1.11)与线性关系式Gn=nk=0Fkn1i=1f(xi,bk)ni=0,i=kg(bi,bk)(1.12)等价.反之亦然.在引理1.2的基础上
13、,不难得到如下引理:303王瑾等:(1 xy,y x)-展开公式与应用引理1.3(f,g)-展开公式,参见文献42,引理2.3)在引理1.1给定的条件下,如果成立展开式F(x)=n=0Gnf(xn,bn)n1i=0g(bi,x)ni=1f(xi,x),(1.13)则系数Gn=nk=0F(bk)n1i=1f(xi,bk)ni=0,i=kg(bi,bk).(1.14)注1.1(1.13)对于任意解析函数F(x)提供了一种级数展开方式,且当x,bn,xn U(b)(b的某个邻域),bn b且1 xxn=0,等式右端的无穷级数收敛.除了上面的展开式(1.6)和(1.7)之外,类似的结果可参见文献18,
14、19中q-Taylor定理的相关结论.同时我们还需要被q-级数理论研究者称为“Ismail原理”(参见文献37)的解析方法,因为Ismail是第一个将该方法用于Ramanujan11求和公式证明的学者17.Ismail原理本质上依赖如下形式的解析函数唯一性定理1.引理1.4(唯一性定理/Ismail原理)设F(x)和G(x)是任意两个解析函数.如果存在无穷序列bnn0使得limnbn=b,且对于任意自然数n 0,均有F(bn)=G(bn),(1.15)则对于任意x U(b),必有F(x)=G(x).本文将研究的注意力集中在(1.3)(1.5)中的函数F(x)在(1.8)下的展开式.目前所知的W
15、P q-级数都属于此范围.在此观点的驱动下,我们将建立如下形式的(1xy,y x)-展开公式,它是本文后续讨论的理论依据.需要说明的是,一般的(f,g)-展开公式的正确性无法得到保证,困难在于难以确定所涉及的无穷级数的收敛性.定理1.1(1xy,yx)-展开公式)设F(x)是某个区域 C上的解析函数,bnn0,xnn0,满足(i)bnn0两两不同且xnn0有界;(ii)limnbn=b=b0,inf|1/xn b|:n 0 0;(iii)进一步假设limsupnGn,1Gn,00和bnn0,我们建立与Andrews3首次提出的Bailey对和Bailey链理论密切相关的恒等式,即如下结论:定理
16、1.2在与定理1.1相同的条件下,必成立n=0n(c/x;q)n(ax;q)n+1xn=n=0n(c/x;q)n(bx;q)n+1xn,(1.18)其中n=bn(a/b;q)n(1 acq2n)(bc;q)n+1nk=0(bc,qn,acqn;q)k(q,bcqn+1,bq1n/a;q)k(qa)kk,(1.19a)n=an(b/a;q)n(1 bcq2n)(ac;q)n+1nk=0(ac,qn,bcqn;q)k(q,acqn+1,aq1n/b;q)k(qb)kk.(1.19b)由定理1.2可得如下的一个WP Bailey对.推论1.1设序列nn0和nn0满足(1.19a)和(1.19b).则n(bc,ab):=(bc;q)n(q;q)n(1b)nn,n(bc,ab):=(ac;q)n(1 bc)(q;q)n(1 acq2n)(1b)nn(1.20)是一个关于参数bc和a/b的WP Bailey对.更一般地,可以建立如下定理:定理1.3对于任意整数s r 0,假设序列nn0、Ann0和Bnn0使得所涉及的无穷级数收敛,则必成立nk01 aq2n1 a(a,1/x;q)nxn(q,aqx
