1、递推数列通项求解方法举隅类型一：思路1递推法：。思路2构造法：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，那么，即。例1 数列满足且，求数列的通项公式。解：方法1递推法：。方法2构造法：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，那么，即。类型二： 思路1递推法：。思路2叠加法：，依次类推有：、，将各式叠加并整理得，即。例2 ，求。解：方法1递推法：。方法2叠加法：，依次类推有：、，将各式叠加并整理得，。类型三： 思路1递推法：。思路2叠乘法：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。例3 ，求。解：方法1递推法：。方法2叠乘法：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。类型四： 思路特征根法：
2、为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时， (、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程有两个不等实根时、时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。例4 、,求。解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即，解得，即。类型五： 思路构造法：，设，那么，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。例5 ，求。解：设，那么，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。类型六： 且思路转化法：，递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。例6 ，求。解：，式子两边同时除以得，令，那么，依此
3、类推有、，各式叠加得，即。类型七： 思路转化法：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。例7 ，求。解：对递推式左右两边分别取对数得，令，那么，即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，因而得。类型八：思路转化法：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。例8 ，求。解：对递推式左右两边取倒数得即，令那么。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，那么，即，。类型九： 、思路特征根法：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设为待定系数，可利用、求得；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项
4、的等比数列，我们可设为待定系数，可利用其值的项间接求得；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。例9 ， ，求。解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设，由得那么，即，从而，。寒假专题常见递推数列通项公式的求法重、难点：1. 重点： 递推关系的几种形式。2. 难点：灵活应用求通项公式的方法解题。【典型例题】例1 型。1时，是等差数列，2时，设 比拟系数： 是等比数列，公比为，首项为 例2 型。1时，假设可求和，那么可用累加消项的方法。例：满足，求的通项公式。解： 对这个式子求和得： 2时，当那么可设 解得：， 是以为首项，为公比的等比数
5、列 将A、B代入即可30，1等式两边同时除以得令 那么 可归为型例3 型。1假设是常数时，可归为等比数列。2假设可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：，求数列的通项。解： 例4 型。考虑函数倒数关系有 令 那么可归为型。 练习：1. 满足，求通项公式。解：设 是以4为首项，2为公比为等比数列 2. 的首项，求通项公式。解： 3. 中，且求数列通项公式。解： 4. 数列中，求的通项。解： 设 5. ：，时，求的通项公式。解：设 解得： 是以3为首项，为公比的等比数列 【模拟试题】1. 中，求。2. 中，求。3. 中，求。4. 中，求。5. 中，其前项和与满足1求证：为等差数列 2求的通项公式6. 在正整数数列中，前项和满足 1求证：是等差数列 2假设求的前n项和的最小值1. 解：由，得 2. 解：由得： 即是等比数列 3. 解：由得 成等差数列， 4. 解： 设即 是等差数列 5. 解：1 是首项为1，公差为2的等差数列 2 又 6. 解：1 时，整理得： 是正整数数列 是首项为2，公差为4的等差数列 2 为等差数列 当时，的最小值为16
