1、上海市延安中学2023年-2023年学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题14题，每题3分，共42分）1.函数的最小正周期是_.【答案】【解析】【分析】根据函数的周期公式计算即可.【详解】函数的最小正周期是.故答案为：【点睛】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题2.计算：_.【答案】3【解析】【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可【详解】.故答案为：3【点睛】本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题3.设函数，则_.【答案】【解析】【分析】利用反三角函数的定义，解方程即可【详解】因为函数，由反三角函数的定义，解方程，得，所以.故答案为：【点睛
2、】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题4.已知数列是等差数列，若，则公差_.【答案】2【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【详解】设等差数列公差为，解得2故答案为：2【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题5.已知数列等比数列，若，则公比_.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【详解】数列是等比数列，若，则，解得，即.故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题6.计算：_.【答案】【解析】【分析】由等比数列前n项和公式，得=1，从而求极限即可【详解】1，1=故答案为：【点睛】本题考查了等比数列前n项和公式的应
3、用，以及数列极限的求法，属于基础题7.方程的解集为_.【答案】【解析】【分析】由诱导公式可得，由余弦函数的周期性可得：.【详解】因为方程，由诱导公式得，所以，故答案为：【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题8.已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则_.【答案】3【解析】【分析】由等差数列的求和公式和性质可得，代入已知式子可得【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：，且，.故答案为：3【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题9.夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座
4、山的高度是_米【答案】2000【解析】【分析】由题意得，温度下降了，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.【详解】由题意得，这座山的高度为：米故答案为：2000【点睛】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.10.若 ，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可【详解】由，得所以，又因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题11.若函数，的最大值为，则的值是_.【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为，由
5、的范围可得的范围，根据最大值可得的值.【详解】函数2（），又的最大值为，所以的最大值为，即=，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题12.已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则_.【答案】5【解析】【详解】试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即，为等比数列时，-2为等比中项，即，所以.考点：等差，等比数列的性质13.已知数列满足，记数列的前项和为，则_.【答案】7500【解析】【分析】讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求.【详解】当是奇数时，1，由，得，所以，
6、是以为首项，以2为公差的等差数列，当为偶数时，1，由，得，所以，是首项为，以4为公差的等差数列，则 ，所以.故答案为：7500【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题14.已知数列的通项公式是，若将数列中的项从小到大按如下方式分组：第一组：，第二组：，第三组：，则2023年位于第_组.【答案】32【解析】【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、中数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决【详解】根据题意:第一组有212个数，最后一个数为4；第二组有422个数，最后一个数为12，即2（2+4）；第三组有62
7、3个数，最后一个数为24，即2（2+4+6）；第n组有2n个数，其中最后一个数为2（2+4+2n）4（1+2+3+n）2n（n+1）当n31时，第31组的最后一个数为231321984，当n32时，第32组的最后一个数为232332112，2023年位于第32组故答案为：32【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）15.“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】数列是等比数列与命题
8、是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断【详解】若数列是等比数列，则，数列是等比数列，若数列是等比数列，则，数列不是等比数列，数列是等比数列是数列是等比数列的充分非必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题16.设，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得，再计算即可.【详解】，所以故选：D【点睛】本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题17.已知等差数列公差d0，则下列四个命题：数列是递增数列； 数列是递增数列；数列是递增数列； 数列是递增数列；其
9、中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论【详解】设等差数列，d0对于，n+1nd0，数列是递增数列成立，是真命题对于，数列，得，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题对于，数列，得，不一定是正实数，故是假命题对于，数列，故数列是递增数列成立，是真命题故选：B【点睛】本题考查用定义判断数列单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题18.已知数列和数列都是无穷数列，若区间满足下列条件：；则称数列和数列可构成“区间套”，则下列可
10、以构成“区间套”的数列是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可【详解】由题意，对于A：，不成立，所以A不正确；对于B：由，得不成立，所以B不正确；对于C：，成立，并且也成立，所以C正确；对于D：由，得，不成立，所以D不正确；故选：C【点睛】本题考查新定义理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共4题，共42分）19.解关于的方程：【答案】【解析】【分析】根据方程解出或，利用三角函数的定义解出，再根据终边相同角的表示即可求出.【详解】由，得，所以或，所以或，所以的解
11、集为：.【点睛】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.20.已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式.【答案】【解析】【分析】当时，当时，即可得出【详解】已知数列的前项和为，且，当时，当时，检验：当时，不符合上式，【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题21.已知等比数列是递增数列，且满足：，.（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式；（2）由（1）得，再利用等差数列的求和公式进行解答即可
12、【详解】（1）由题意，得，又，所以，或 ，由是递增的等比数列，得 ，所以，且，即；（2）由（1）得，得，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题22.已知数列满足，（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使不等式对一切恒成立的实数的范围【答案】（1）见解析，；（2）【解析】【分析】（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出，利用等差数列的通项公式得出，再得出；（2）由（1）得，再使用裂项相消法求出，使用不等式得出的范围，从而得出的范
13、围【详解】（1），两边取倒数,，即，又，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， （2）由（1）得，要使不等式Sn对一切恒成立，则的范围为:【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题23.己知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和.（1）若1，1，求的值；（2）若首项，是正整数，满足不等式|63|62，且对于任意正整数都成立，问：这样的数列有几个？【答案】（1）；（2）114【解析】【分析】（1）利用等比数列的求和公式，进而可求的值；（2）根据满足不等式|63|62，可确定的范围，进而可得随着的增大而增大，利用，可求解【详解】（1）已知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和，1， ， ，则；（2） 满足不等式|63|62， ， ，且，得随着的增大而增大，得 ，又且对于任意正整数都成立，得，且是正整数，满足的个数为：12411+1114个，即有114个，所以有114个数列【点睛】本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题- 15 -
