1、基于MATLAB的线性二次型最优控制算法及应用研究摘 要早在上世纪50年代，世界上就出现了对于线性二次型最优控制LQ（Linear Quadratic）的研究。随着对LQ的不断深入研究，如今它已经成为了现代控制理论中最经典的最优控制之一。在各种关于对LQ的研究中，基于状态反馈控制器的研究是最为系统且完整的。而直线一级倒立摆系统作为研究控制理论的一种实验平台，它不但结构简单，价格低廉，而且可以反映出控制中的许多典型问题，从而使它在很多领域都得到了应用。MATLAB作为数字仿真领域中所使用的系统软件的代表，且又具有功能强大的函数库，能使研究者们便捷地实现现代控制理论的目标。 本文针对一阶线性系统，
2、以状态变量和控制输入变量构成的二次型函数为目标函数，研究了线性二次型最优控制算法中的三个主要研究方向，具体为状态调节器问题、输出调节器问题以及跟踪器问题，并分别给出数值算例进行了MATLAB仿真。最后以直线一级倒立摆系统作为具体的例子，研究了如何利用线性二次型最优控制实现倒立摆控制器设计，并给出系统模型及MATLAB仿真波形。该论文有图14幅，表2个，参考文献32篇。关键词：线性二次型最优控制 状态调节器 输出调节器 跟踪器 MATLAB 倒立摆系统IThe Algorithm and Application Research of Linear Quadratic Optimal Contr
3、ol based on MATLABAbstractIn early 1950, there appeared for the research of the linear quadratic optimal control LQ (Linear Quadratic) , with the deepening study of LQ, LQ has now become one of the most classical optimal control of the modern control theory. In many of research on LQ, one of them wh
4、ich based on state feedback controller is the most systematic and complete. And the linear inverted pendulum system as an experimental platform which research the control theory, it not only has the advantages of simple structure, low price, but also can reflect many typical control problem, so it h
5、as been applied in many fields.MATLAB, as the representative of the system software used in the field of digital simulation, and has a powerful function library, so it can make the researchers easily achieve the goals of modern control theory.In this paper, for the first-order linear system, the qua
6、dratic function formed by the state variable x and the control input variable U is the objective function,and studies three major issues in the linear quadratic optimal control algorithm,which are the state regulator problem, the output regulator problem and tracker problem, and gives the specific n
7、umerical examples and simulates these problems by MATLAB. Then this paper studies the application of linear quadratic optimal control in the inverted pendulum controller design, gives system model and the MATLAB simulation waveform.Key Words:Linear quadratic optimal control state regulator output re
8、gulator tracker MATLAB inverted pendulum system目 录摘要IAbstractII目录III图清单V表清单V1 绪论11.1 课题的研究背景及意义11.2 课题的研究现状21.3 本文研究工作与内容安排32 MATLAB基础42.1 简述42.2 MATLAB基本功能及特点42.3 M文件的使用52.4 本章小结73 线性二次型理论研究及MATLAB仿真83.1 线性二次型基本理论83.2 状态调节器问题研究93.3 输出调节器问题研究143.4 跟踪器问题研究173.5 本章小结224 线性二次型最优控制在倒立摆系统中的实现234.1 问题简述23
9、4.2 倒立摆系统的数学模型234.3 二次型最优控制器254.4 Simulink仿真274.5 本章小结315 总结与展望32参考文献33致谢35附录36图清单图序号图名称页码图3-1Q=1 0;0 1,R=1时状态调节器的单位阶跃响应仿真曲线13图3-2Q=100 0;0 1,R=0.01时状态调节器的单位阶跃响应仿真曲线14图3-3输出调节器的单位阶跃响应仿真曲线17图3-4Q=1，R=0.1时跟踪器的仿真曲线21图3-5Q=100，R=1时跟踪器的仿真曲线22图4-1一级倒立摆系统示意图23图4-2Q=1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0 时的仿真结果26图
10、4-3Q=1000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 200 0;0 0 0 0 时的仿真结果27图4-4直线一级倒立摆的模型图27图4-5点击“matrix gain K”后的对话框显示28图4-6双击“Linear Stage”后的对话框显示28图4-7K=-1 -1.7855 25.422 4.6849 时的仿真结果29图4-8点击“matrix gain K”后的对话框显示29图4-9K=-31.6228 -20.1507 72.7181 13.1552 时的仿真结果30图4-10直线一级倒立摆加扰动状态下的模型图30图4-11K=-31.6228 -20.1507 72.7181
11、13.1552 时加扰动的仿真结果31表清单表序号表名称页码表4-1直线以及倒立摆中相关量的说明24表4-2实际系统的具体参数25V1 绪论早在1950年，就有人开始对于线性二次型最优控制LQ进行研究，到了现在LQ的研究理论不断成熟，已经成为现代控制理论中最经典的最优控制之一。在各种关于对LQ的研究中，基于状态反馈控制器的研究是最为系统且完整的。随着线性二次型最优控制理论的不断发展，LQ在诸如航空、航天、汽车、制导等多个领域中都实现了广泛的应用。本章主要介绍了线性二次型最优控制的研究背景、研究意义以及研究现状，最后是本文的研究内容和工作安排。1.1 课题的研究背景及意义对于每一个实际的控制系统
12、，都存在着多种控制方案，而最优控制就是指在考虑实际情况中的经济、时间、环境等各种因素的限制后，选择一种最优控制方案，使得控制系统达到预期最优的控制效果1。线性二次型最优控制是一类被控对象为线性系统，性能指标泛函为二次型函数积分形式的最优控制问题，其特殊的性能指标形式和被控对象的线性性质，使得系统构成了线性状态反馈。如今系统的最优控制问题越来越被研究者们所关注，这使得最优控制理论得到了迅猛发展，并在现代控制理论占有一个非常大的比重。最早在1958年，BellmanGlicksberg-Gross 就开始提出研究线性二次型最优控制这一研究课题2。两年后卡尔曼（Kalman）又进一步建立了基于状态反
13、馈的线性二次型最优控制，并得出黎卡提（Riccati）方程可以应用到控制理论中去这一结论。后来，线性二次型最优控制理论不断发展，研究人员发现线性二次型的最优控制解可以用统一的解析式来表示，即3，其中最优控制解与状态变量呈线性关系，即中的是一个定值。由于存在这种线性关系，研究人员可以得到一个简单的线性状态反馈控制律来构成闭环最优控制，这对在工程中实现最优控制具有十分重要的意义。不仅如此，线性二次型问题还具有同时考虑系统性能指标的多方面因素的特点，这个特点可以在很大程度上改善系统的动静态性能。例如非线性系统的开环控制会产生较大的误差，但是若将它与所得到的线性二次型最优反馈控制结合在一起，这样就可以
14、大大降低开环控制的误差。此外，研究人员观察线性二次型最优控制的解析表达式，发现其中的,都已知，而作为 Riccati 方程的解是未知的，因此要求解最优控制问题就得先求解非线性Riccati 微分方程或代数方程。而如今关于对 Riccati 方程的求解已经变得十分容易，研究人员可以利用MATLAB软件中的特定库函数来得以实现。由于线性二次型最优控制问题的研究得到了很大的发展，故其在工程实践中应用广泛，不管是在航海、航空、建筑和制导等经典应用方面，还是在社会经济系统和工程系统这种新型应用方面，线性二次型最优控制都发挥着重要的作用。在控制理论和计算机技术不断发展的基础上，研究人员们不断提出新的控制算
15、法和控制技术，直到现在，线性系统理论已经成为现代控制理论中最基本、最成熟的一个组成部分。而倒立摆系统作为验证控制方法和理论的实验平台，其控制效果取决于控制理论和控制方法是否做得足够好。它不但具有易于调整的物理参数和结构，而且结构简单和价格低廉，故它的应用背景大多集中在工业控制系统设计和航天业的控制系统，比如火箭飞行、海洋钻井平台及两足机器人行走等等。这对倒立摆系统的研究发展有着极大的理论和实践意义，也在研究者们验证控制方法和理论的过程中成为了必不可少的一个环节。1.2 课题的研究现状在线性二次型最优控制问题的发展过程中，研究人员发现，要想解决这类问题主要有两个方向，即基于状态反馈和基于输出反馈。其中第一种方法是将状态反馈用于求解正常系统的LQR（Linear Quadr
