1、上海市宝山区2023年届高三数学上学期教学质量监测（一模）试题一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 若（是虚数单位），则 2. 已知，则 3. 函数（）的反函数是 4. 年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场球赛5. 以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 6. 在的展开式中，的系数为 7. 不等式的解集是 8. 已知方程（）的两个虚根为、，若，则 9. 已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为 10. 有一个空心钢球，质量为142，测得外直径为5，则它
2、的内直径是 （钢的密度为7. 9，精确到0.1）11. 已知、均是等差数列，若前三项是7、9、9，则 12. 已知，那么，当代数式取最小值时，点的坐标为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 14. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 15. 已知平面、两两垂直，直线、满足，则直线、不可能满足的是（ ）A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面16. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，下列判断错误的是（ ）A. 当，时，辅助角B. 当，时，辅助
3、角C. 当，时，辅助角D. 当，时，辅助角三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在直四棱柱中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形，E是AB的中点. （1）求四棱锥的体积；（2）求异面直线和AD所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及对称中心；（2）若在区间上有两个解、，求a的取值范围及的值. 19. 一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%. （1）A池要用多长时间才能把污
4、物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）20. 已知直线与椭圆相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点. （1）记、是椭圆的左右焦点，若直线AB过，当到的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：为定值. 21. 已知数列满足，（是自然对数的底数），且，令（）. （1）证明：；（2）证明：是等比数列，且的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数均有成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由. - 5 -
