1、求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，那么，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、利用例2假设和分别表示数列和的前项和，对任意正整数，.求数列的通项公式；解： 2分 当 当4分练习：1. 正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1
2、=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 22023年全国卷I设数列的前项的和，求首项与通项；设，证明：解：I，解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得： 其中n为正整数II所以： 三、累加法例3 数列满足，求数列的通项公式。解：由得那么所以数列的通项公式
3、为。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例4 数列满足，求数列的通项公式。解：由得那么所以评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例5数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，那么，故因此，那么评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。四、累乘法例6 数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，那么，故所以数列的通项公式为评注：此题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例7数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得那么故所以由，那么，又知，那么，
4、代入得。所以，的通项公式为评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。五.构造等差或等比或例82023年福建卷数列满足求数列的通项公式；解：是以为首项，2为公比的等比数列。即例9数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，那么,解之得：所以练习.数列满足，且。1求；2求数列的通项公式。解：12六、待定系数法例10数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，那么，那么数列是以为首项，以2为公比的等比数列，那么，故。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项
5、公式，最后再求出数列的通项公式。例11 数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，那么，代入式得由及式，得，那么，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，那么。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例12 数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，那么等式两边消去，得，解方程组，那么，代入式，得 由及式，得那么，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，那么。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。七、对数变换
6、法例13 数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，那么，故代入式，得 由及式，得，那么，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，那么，因此那么。评注：此题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。八、迭代法例14数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：此题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。九、数学归纳法例15数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可
7、猜想，往下用数学归纳法证明这个结论。1当时，所以等式成立。2假设当时等式成立，即，那么当时，由此可知，当时等式也成立。根据1，2可知，等式对任何都成立。评注：此题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例16数列满足，求数列的通项公式。解：令，那么故，代入得即因为，故那么，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，那么，即，得。评注：此题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。附： 构造辅助数列 1构造数列，使其为等差数列。 形式：例：数列满足 ，求证：是等差数列，并求的通向公式。解： ，即 是首项为1，公差为3的等差数列。 .2. 构造数列，使其为等比数列。或 例：在数列中，求证：数列的通项公式。 解：由可知，对，. ，即.又 . 数列是首项为，公比为的等比数列. . 3. 构造数列，使其为等比数列。 例：数列满足，求的通项公式。解：设 ，即那么 与 比拟后的得 . 或 .当时，是以为首项，2为公比的等比数列。 (). 经验证，n=1时适合上式，. 同理，当时，也得到. 综上知.第 14 页 共 14 页
