1、上海市上海中学2023年-2023年学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题。1._.【答案】1【解析】【分析】由即可求得【详解】【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。2.已知等差数列则 【答案】10【解析】试题分析：根据公式，将代入，计算得n=10考点：等差数列的通项公式3.数列中，已知，50为第_项.【答案】4【解析】【分析】方程变为，设，解关于的二次方程可求得。【详解】，则，即设，则，有或取得，所以是第4项。【点睛】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，等，都可以通过换元变为二次形式研究。4.等比数列，若，则_.【答案】【解析】【分
2、析】将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。【详解】相当于，相当于，上面两式相除得代入就得，【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。5.用数学归纳法证明：时，从“到”左边需增加的代数式是_【答案】【解析】【分析】写出时的表达式，然后写出时的表达式，由此判断出增加的代数式.【详解】当时，左边为，左边的固定，当时，左边为，化简得，故增加的项为.【点睛】本小题主要考查数学归纳法的概念以及运用，考查观察与思考的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.6.数列满足，则等于_.【答案】15【解析】【分析
3、】先由，可求出，然后由，代入已知递推公式即可求解。【详解】故答案为15.【点睛】本题考查是递推公式的应用，是一道基础题。7.数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意可求得和的等式相加，求得，进而推出，判断出数列是以6为周期的数列，进而根据求出答案。【详解】将以上两式相加得数列是以6为周期的数列，故【点睛】对于递推式的使用，我们可以尝试让取或，又得一个递推式，将两个递推式相加或者相减来找规律，本题是一道中等难度题目。8.数列满足下列条件：，且对于任意正整数，恒有，则_.【答案】512【解析】【分析】直接由，可得，这样推下去，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。【详解】故选C。【点睛】利
4、用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。9.数列定义为，则_.【答案】【解析】【分析】由已知得两式，相减可发现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前的和【详解】两式相减得数列的奇数项，偶数项分别成等差数列， ，数列的前2n项中所有奇数项的和为：，数列的前2n项中所有偶数项的和为：【点睛】对于递推式为，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为，而奇数项的首项为.10.已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_.【答案】【解析
5、】【分析】利用将变为，整理发现数列为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和。【详解】当时，符合，当时，符合，【点睛】一般公式使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。11.一个三角形的三条边成等比数列， 那么， 公比q 的取值范围是_.【答案】【解析】【详解】设三边按递增顺序排列为， 其中.则， 即.解得.由 q1 知 q 的取值范围是1q .设三边按递减顺序排列为，其中.则，即.解得.综上所述， .12.数列满足，当时，则是否存在不小于2的正整数，使成立？若存在，则在横线处直接填写的值；若不存在，就填写“不存在”_.
6、【答案】70【解析】【分析】构造数列，两式与相减可得数列为等差数列，求出，让=0即可求出.【详解】设 两式相减得又数列从第5 项开始为等差数列，由已知易得均不为0所以当n=70的时候成立，故答案填70.【点睛】如果递推式中出现和的形式，比如，可以尝试退项相减，即让取后，两式作差，和的部分因为相减而抵消，剩下的就好算了。二、选择题。13.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果.【详解】等差数列的公差为2，且，.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计
7、算能力，属于基础题.14.等比数列的前项和为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知， ， ，解得： ， ，求得 ，故选C.15.设等差数列的前n项和为，若，则()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由又，可得公差，从而可得结果.【详解】是等差数列又，公差，故选C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.设，若，则数列是（ ）A. 递增数列B. 递减数列C. 奇数项递增，偶数项递减的数列D. 偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C【解析】【分析】根据题意，由三角函数的性质分
8、析可得，进而可得函数为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。【详解】根据题意，则，指数函数为减函数即即即即，数列是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C.【点睛】本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。三、解答题。17.等差数列的前项和为，求数列前项和.【答案】【解析】【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式求出公差和首项，由此能求出，且，当时，当时，。【详解】解得，设从第项开始大于零，则，即当时，当时，综上有【点睛】本题考查数列的前项和的求法，是中档题，注意等差数列的函数性质的运用。18.已知数列的前项和（1）求的通项公式；（2）若数列满足
9、：，求的前项和（结果需化简）【答案】（1）；（2）；【解析】分析】（1）运用数列的递推式得时，时，化简计算可得所求通项公式；（2）求得，运用数列错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】（1）可得时， 则（2）数列满足，可得，即，前项和两式相减可得化简可得【点睛】本题考查数列递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件。（1）试写出销售量与n的函数关系式；（2）当时，厂
10、家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)根据若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件，可得，利用叠加法可求得.(2)根据题意在时,利润,可利用求最值.试题解析：（1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知，由叠加法可得即为所求。（2）设当时，获利为元，由题意知，欲使最大，则，易知，此时.考点：叠加法求通项,求最值.20.设数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）是否对一切正整数，有？说明理由.【答案】（1）；（2）对一切正整数，有.【解析】【分析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）
11、对一切正整数n，有，考虑当时，再由裂项相消求和，即可得证。【详解】（1）当时，两式做差得，当时，上式显然成立，。（2）证明：当时，可得由可得即有则当时，不等式成立。检验时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有。【点睛】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键21.设集合，其中.（1）写出集合中的所有元素；（2）设，证明“”的充要条件是“”（3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）充要条件.【解析】【分析】（1） 根据题意，直接列出即可（2） 利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。（3） 利用（2）的结论完成（3）即可。【详解】（1）中的元素有，。（2）充分性：当时，显然成立。必要性：若=1，则若=，则若的值有个1，和个。不妨设2的次数最高次为次，其系数为1，则，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能是0，就是说，即综上“”的充要条件是“”（3）等价于等价于由（2）得“=”的充要条件是“”即“=”是“” 的充要条件【点睛】本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题- 17 -
