1、2023学年高考数学模拟测试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体EBCD的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得；（3）设二
2、面角的平面角为，则；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（ ）A1B2C3D42设为锐角，若，则的值为（ ）AB C D3执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）A1B2C3D44如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）ABCD5上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（
3、或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( )A公元前2000年到公元元年B公元前4000年到公元前2000年C公元前6000年到公元前4000年D早于公元前6000年6设是虚数单位，复数（）ABCD7的展开式中的常数项为( )A60B240C80D1808已知复数z（1+2i）（1+ai）
4、（aR），若zR，则实数a（ ）ABC2D29国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A12个月的PMI值不低于50%的频率为B12个月的PMI值的平均值低于50%C12个月的PMI值的众数为49.4%D12个月的PMI值的中位数为50.3%10已知向量，是单位向量，若，则（ ）ABCD11己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（ ）AB0C1D12已知集合，则集合子集的个数为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图,已知，为的中
5、点，为以为直径的圆上一动点，则的最小值是_14数据的标准差为_15已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为_.16在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2（y1）2r2（r0）上存在点P，且点P关于直线xy0的对称点Q在圆C2：（x2）2（y1）21上，则r的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，平面，是线段上靠近的三等分点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18（12分）已知数列的前项和为，且点在函数的图像上；（1）求数列的通
6、项公式；（2）设数列满足：，求的通项公式；（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；19（12分）如图所示,直角梯形中,四边形为矩形,.（1）求证:平面平面;（2）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.20（12分）已知 （1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数有两个极值点 ，且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证明21（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若，求的面积的最大值22（10分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹
7、为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点（1）证明：点始终在直线上且；（2）求四边形的面积的最小值2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】解：对于（1），当CD平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，四面体EBCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AEBD，又AEBE，则AE平面BDE，可得AEDE，进一
8、步可得AEDE，此时EABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则DOE为二面角DABE的平面角，为，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，0，），DAE，），所以DAE不成立（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：dPBC，因为1，所以点P的轨迹为椭圆（4）正确故选：C点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.2、D【答案解析】用诱导公式和二倍角公式计算【题目详解】故选：D【答案点睛】本题考查诱导公
9、式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系3、C【答案解析】试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得，故输入的实数值的个数为1考点：程序框图4、A【答案解析】由平面向量基本定理，化简得，所以，即可求解，得到答案【题目详解】由平面向量基本定理，化简，所以，即，故选A【答案点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题5、D【答案解析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项【题目详解】解：由题意，可设冬至
10、日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则，估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年故选：【答案点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题6、D【答案解析】利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案【题目详解】由题意，复数，故选D【答案点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题7、D【答案解析】求的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和
11、项，再求和即可得出答案.【题目详解】由题意，中常数项为，中项为，所以的展开式中的常数项为：.故选：D【答案点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.8、D【答案解析】化简z（1+2i）（1+ai）=，再根据zR求解.【题目详解】因为z（1+2i）（1+ai）=，又因为zR，所以，解得a-2.故选：D【答案点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、D【答案解析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【题目详解】对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的P
12、MI值不低于50%的频率为，故A正确；对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误故选：D.【答案点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.10、C【答案解析】设，根据题意求出的值，代入向量夹角公式，即可得答案；【题目详解】设，是单位向量，,，联立方程解得：或当时，；当时，；综上所述：.故选：C.【答案点睛】本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况.11、A
13、【答案解析】先将函数解析式化简为，结合题意可求得切点及其范围，根据导数几何意义，即可求得的值.【题目详解】函数即直线与函数图象恰有四个公共点，结合图象知直线与函数相切于，因为，故，所以.故选：A.【答案点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.12、B【答案解析】首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得.【题目详解】解：，子集的个数为.故选：.【答案点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进
14、而可得的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出的表达式,求出其最小值即可.【题目详解】建立直角坐标系如图所示：则点,设点,所以,由平面向量数量积的坐标表示可得,其中, 因为,所以的最小值为.故答案为:【答案点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题.14、【答案解析】先计算平均数再求解方差与标准差即可.【题目详解】解：样本的平均数, 这组数据的方差是 标准差,故答案为：【答案点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.15、2【答案解析】根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.【题目详解】为
