1、115 导数的综合应用一、明确复习目标了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题；二建构知识网络1函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法见上一节；2利用导数解不等式问题：高考中的一类新题型1利用导数确定函数的单调性，2利用单调性研究不等式。三、双基题目练练手1a0，函数fx=x3ax在1，+上是单调增函数，那么a的最大值是A0 B1 C2 D32函数fx=sin3x在点,处的切线方程是 A3x+2y+=0, B3x2y+=0C3x2y=0, D3x+2y=03(2023湖北)假设的大小关系 ABCD与x的取值有关42023江西对于上可导的任意函数
2、f(x),假设满足(x1)f(x)0,那么必有 Af(0)+ f(2)2 f(1)5假设函数y=x3+bx有三个单调区间，那么b的取值范围是_6方程x33x+c=0在0，1上至多有_个实数根简答:14DBDC；5 y=4x2+b，假设y值有正、有负，那么b0答案：b06设fx=x33x+c，那么x=3x23=3x21当x0，1时，x0时，有证明：设f(x)=x-sinx,于是f(0)=0f/(x)=1-cosx(仅在x=2k(kZ)处f/(x)=0当x0时，f(x)单调递增，从而有f(x)f(0)即x-sinx0, xsinx(x0)为证不等式，设g(x)=sinx-x+,那么g(0)=0,于
3、是g/(x)0,g(x)在x0时递增，从而有g(x)g(0)=0即故当x0时有提炼方法：证不等式的依据I：（1） 假设函数f(x)在xa可导，且递增，那么f(x)f(a);（2） 假设函数f(x)在xa可导，且递减，那么f(x)f(a);关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左右等。【例2】求证：函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。证明：设F(x)=(2-x)ex-1,(x2)F/(x)=(1-x)ex-1,当x0,当1x2时，F/(x)0x=1时，F(x)有极大值，也就是最大值。F(x)F(1)=1,又x0，讨论y=f(x)的单调性；假设对任意x(0,1)恒有f(x
4、)1，求a的取值范围 解()f(x)的定义域为(,1)(1,+)。 对f(x)求导数得 f (x)= eax ()当a=2时, f (x)= e2x, f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+) 为增函数；()当0a0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数； ()当a2时, 01, 令f (x)=0 ,解得x1= , x2= 当x变化时, f (x)和f(x)的变化情况如下表： x(-, -)(-,)(,1)(1,+)f (x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数, f(x)在(,)为减函数。 ()()当0f(
5、0)=1()当a2时, 取x0= (0,1),那么由()知 f(x0)1且eax1,得 f(x)= eax 1 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)1 。特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。【例4】 (2023全国) 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的局部为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量 求：点M的轨迹方程；的最小值。 解: 椭圆方程可写为: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b
6、2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x0,y0) y=2(0x1) y = 设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2= x21+54+5=9 且当x21= ,即x=1时,上式取等号 故|的最小值为3 【研讨欣赏】(2023湖北) 设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(xR)的一个极值点1求a与b的关系式用a表示b，并求f(x)的单调区间；2设0，=假设存在使得|4时，x1x2，故f (x)在(,a1上为减函数，在a1,3上为增函数，在3,+)上为减函数2当a0时，a10，fx在1，2上单调递增fxf1
7、=7fx=0在1，2上无根答案：D3由f(x)=f(x)，求导得4， 5 ; 6设底面边长为x，那么高为h=，S表=3x+2x2=+x2S=+x令S=0，得x=答案： 【解答题】7 xR,求证：exx+1证明:设fx=exx1,那么fx=ex1当x=0时，fx=0,fx=0当x0时，fx0,fx在0,+上是增函数fxf0=0当x0时，fx0,fx在,0上是减函数，fxf0=0对xR都有fx0exx+182023江西函数在与时都取得极值1求、的值及函数f(x)的单调区间;2假设对x-1,2,不等式f(x)4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性；假设，且，试证：。解I求导得f/(x)=x2+(b+
8、2)x+b+eexb24(c-1)故方程f/(x)=0 即 x2+(b+2)x+b+e=0有两个实根令f/(x)0,解得xx2又令f/(x)0,解得x1xx2故当x(,x1)时，f(x)是增函数，x(x2,+)时，f(x)也是函数，当x(x1,x2)时，f(x)是减函数。 II易知由条件得解得 10 (2023浙江)函数f(x)=x+ x，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过0，0和x,f (x)两点的直线平行如图求证：当n时， ()x xmxm+1oyx证明：I因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以II因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令那么因为所以因此故【探索题】 函数f(x)=f(x)的导函数是 对任意两个不相等的正数，证明：当时， 证法一：由，得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立设，那么令得，列表如下：
