1、由0是自然数引发的思考 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。 思考之一： 为什么要把0划归自然数。 从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大局部都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年公布的中华人民共和国国家标准（gb320230-320232-93）量和单位（11-2.9）
2、第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 思考之二。最小的一位数是“1还是“0。 0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1还是“0。在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗。这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。 因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数是这样定
3、义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“2023还是“00呢。那么最小的三位数、四位数又是多少呢。 九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书第98页“关于几位数是这样表达的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数但是要注意：一般不说0是几位数。 所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，最小一位数是1；最大两位数是9
4、9，最小两位数是2023；最大三位数是999，最小三位数是20230 综上所述，“0虽然是最小的自然数，但仍然不能称为“一位数，更不能称为最小的一位数。 思考之三。自然数的计数单位还是“1吗。 大家都知道，0是自然数中最小的一个。0加1得1，1加1得2，2加1得3，这样继续下去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多1。因此，任何一个自然数都是由假设干个1合并而成，所以1是自然数的单位。0可以看成是由0个1组成的自然数。 思考之四。0是其它非零自然数的倍数吗。 九年义务教育六年制小学数学第十册中，关于“数的整除及“约数和倍数的定义并未做任何改变，教材第
5、54页就有这样的表达：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数。以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是把0排除在外的。为此，九年义务教育六年制小学数学第十册50页明确指出：“为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0。这样就防止了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小倍数是它本身、“自然数的约数的个数是有限的等，这样的结论必须纠正。 思考之五。0是不是合数。 过去，在教学中，关于
6、自然数的组成，有两种情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；二是所有的质数与所有的合数及1也组成自然数集合。现在0也成为了自然数集合的一员，因而有许多教师提出这样的问题：0是不是合数。 前面已经谈过了，以后“在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0，但作为一种学术研究，进行探讨也未尝不可。笔者以为，0的约数有无数个，根据九年义务教育六年制小学数学第十册中关于合数的定义：“一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。似乎应该把0划归为合数范围，但仔细一想0是个特殊的自然数，因为所有非零自然数都有“本身这个约数，如，1是1的约数，2也是2的约数，而0这个自然数恰恰少了“本身
7、这个约数，因此，也不能归为合数。试想：假设如果0是合数，那么它能用质因数相乘的形式表现出来吗。这就与“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式产生了矛盾。所以，我主张把0划归为“既不质数，也不是合数范围。当然了，这需要权威机构和专家们的认定。但我认为，目前在没有明确0是不是合数的情况下，还是以回避为好。 思考之六。“任何相邻的两个自然数是互质数对吗。 0没有成为自然数时，这一结论毫无疑问是正确的。现在0也是自然数，我们只要研究“0和1这两个相邻的自然数是不是质数，就行了。根据九年义务教育六年制小学数学第十册中关于互质数的定义：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。笔者认为，0的约数有无数个，而1的约数只有一个，那就是它本身。综上所述，0和1的公约数只有“1，因此，0和1是互质数。自然，“任何相邻的两个自然数是互质数这个结论也是正确的。 第5页 共5页
