1、g3.1031数列与函数的极限（2）一、知识回忆1、函数的极限1） 当x时函数f(x)的极限:； 当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x+时,f(x)a)当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x-时,f(x)a)注：自变量x+和x-都是单方向的，而x是双向的，故有以下等价命题令，分别求2） 当xx0时函数f(x)的极限:； ； 如果当x从点x=x0左侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数
2、a。就说a是函数f(x)的左极限，记作。如果当x从点x=x0右侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作。注：1与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。2。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。注：极限不存在的三种形态：左极限不等于右极限；时，时，的值不唯一。4）函数极限的运算法那么：假设，那么；。注：以上规那么对于x的情况仍然成立。5）两个重要的极限：；和一个法那么：罗必塔法那么：2、函数的连续性(1)函数连续性的概念:如果函数f(x)在x=x0处及其附近有定义,而且,就说函数f(x)在x=x0处连续。注
3、：函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；）函数f(x)在x=x0处有极限；）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。右连续（或左连续）：如果函数f(x)在x=x0处及其右侧（或左侧）有定义，而且（或）。假设函数f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续，b点左连续，那么称f(x)在闭区间a,b上连续。注：函数f(x)在(a,b)内连续，只要求在(a,b)内每一点都连续即可，对在端点处是否连续不要求。(2)函数连续性的运算:假设f(x)，g(x)都在点x0处连续，那么f(x)g(x)，f(x)g(x)，(g(x)0
4、)也在点x0处连续。假设u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,那么复合函数fu(x)在点x0处连续。(3)初等函数的连续性:根本初等函数（指数函数，对数函数，三角函数等）在定义域里每一点处都连续。根本初等函数及常数经过有限次四那么运送所得到的函数，都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值。（3）图甲表示的是f(x)在点x0处的左、右极限存在但不相等，即不存在图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在、右极限不存在，也属于不存在图丙表示的是存在，但函数f(x)在点x0处没有定义图丁表示的是存在，但它不等于函数f(x)在点x0处的函数值。注意：函数
5、f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。 二、根本训练1、是函数在点xo处存在极限的（）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件2、m0时，的值是（ ）（A） （B）0 （C）1 （D）3、（ ）（A）0 （B） （C） （D）不存在4、的值为（ ）（A）1 （B）0 （C）1 （D）15、f(x)=下面结论正确的选项是（ ）（A） （B）2 ，不存在 （C）0， 不存在 （D）6.（05江西卷）8A1B1CD7.(05辽宁卷)极限存在是函数在点处连续的A充分而不必要的条件B必要而不充分
6、的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件8.（1）指出以下函数的不连续点：； ； （2），确定常数a，使存在。三、例题分析例1：判断以下函数的极限是否存在：（1）（2）（3）（4），例2：设 ，问a，b为何值时，存在。例3：求以下各极限(1)()； (2) ()(3)； (4) (5) 例4：利用连续函数的图象特征，判断方程：是否存在实数根。例5：求例6：为多项式，且，求。答案：根本训练 17、CBBCB CB例1（1）不存在， （2）不存在， （3）存在， （4）不存在， 例2、当b=2，a为任何实数时，存在。例3.(1) (2) (3)不存在 (4) （5）时，不存在。 例4解：设，那么在
7、R上连续，又，因此在3，0内必存在点x0使得，所以x0是方程的一个实数根，因此方程有实根。例5. ， 例6. 。四、作业 g3.1031数列与函数的极限（2）1的值为（ ）A不存在 B.2 C.0 D.12（ ）A0 B. C.1 D.3假设，那么ab的值是（ ）A4 B.8 C. 8 D.164以下各式不正确的选项是（ ）A BC D5给出以下命题（1）假设函数f(x)在x0处无定义，那么必不存在；（2）是否存在与函数f(x)在x0处是否有定义无关；（3）与都存在，那么也存在；（4）假设不存在，那么必定不存在.正确的命题个数是（ ）A0 B1 C2 D36.（05全国卷） ( A )A B C D 7. （05湖北卷）假设，那么常数的值为（ C ）ABCD8.（04年广东卷.3）函数在处连续，那么（ ） A. B. C. D. 9.（04年福建卷.理14）设函数在处连续，那么实数的值为 . 1011(m和n为自然数)=_.12=_.13假设f(x)=的极限为1，那么x的变化趋向是_.14（1） = （2）= 15讨论函数f(x)=当时的极限与在x=0处的连续性.16.讨论函数的连续性；适当定义某点的函数值，使在区间(3,3)内连续。17.函数(1) 讨论f(x)在点x=-1,0,1处的连续性；（2）求f(x)的连续区间。
