1、各种圆定理总结 费尔巴赫定理三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。 此定理由德国数学家费尔巴赫（kwfeuerbach，18001834）于1822年提出。费尔巴赫定理的证明 在不等边abc中，设o，h，i，q，ia分别表示abc的外心，垂心，内心，九点圆心和a所对的旁切圆圆心.s，r，r，ra分别表示abc的半周长，外接圆半径，内切圆半径和a所对的旁切圆半径，bc=a，ca=b，ab=c.易得hao=|b-c|，hai=oai=|b-c|/2;ah=2rxcosa，ao=r，ai=（s-a）bc/s，aia=sbc/（s-a）在ahi中，由余弦定理可求得：hi2=4r2+4rr+3r2
2、-s2;在aho中，由余弦定理可求得：ho2=9r2+8rr+2r2-2s2;在aio中，由余弦定理可求得：oi2=r（r-2r）.九点圆心在线段ho的中点，在hio中，由中线公式可求得.4iq2=2（4r2+4rr+3r2-s2）+2（r2-2rr）-（9r2+8rr+2r2-2s2）=（r-2r）2故iq=（r-2r）/2.又abc的九点圆半径为r/2，所以九点圆与内切圆的圆心距为d=r/2-r=（r-2r）/2=iq.因此三角形的九点圆与内切圆内切。在ahia中，由余弦定理可求得：iah2=4r2+4rr+r2-s2+2（ra）2;在aoia中，由余弦定理可求得：iao2=r（r+2ra
3、）.在hiao中，由中线公式可求得.4iaq2=2（4r2+4rr+r2-s2+2ra2）+2（r2+2rra）-（9r2+8rr+2r2-2s2）=（r+2ra）2故iaq=（r+2ra）/2.九点圆与a的旁切圆的圆心距为d=r/2+ra=（r+2ra）/2=iaq.故三角形的九点圆与a的旁切圆外切。因此三角形的九点圆与旁切圆外切 托勒密定理 一些圆定理.doc定理图 定理的内容托勒密（ptolemy）定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、
4、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的根本性质. 定理的提出 一般几何教科书中的“托勒密定理，实出自依巴谷（hipparchus）之手，托勒密只是从他的书中摘出。 证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意四边形abcd中，作abe使bae=cadabe=acd 因为abeacd 所以be/cd=ab/ac，即beac=abcd（1） 而bac=dae，acb=ade 所以abcaed相似. bc/ed=ac/ad即edac=bcad（2） （1）+（2），得 ac（be+ed）=abcd+adbc 又因为be+edbd （仅在四边形abcd
5、是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理） 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点a、b、c、d的复数，那么ab、cd、ad、bc、ac、bd的长度分别是：（a-b）、（c-d）、（a-d）、（b-c）、（a-c）、（b-d）。首先注意到复数恒等式：（a-b）（c-d）+（a-d）（b-c）=（a-c）（b-d），两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是（a-b）（c-d）与（a-d）（b-c）的辐角相等，这与a、b、c、d四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、设abcd是圆内接四边形。在弦bc上，圆周角bac=bdc
6、，而在ab上，adb=acb。在ac上取一点k，使得abk=cbd；因为abk+cbk=abc=cbd+abd，所以cbk=abd。因此abk与dbc相似，同理也有abdkbc。因此ak/ab=cd/bd，且ck/bc=da/bd；因此akbd=abcd，且ckbd=bcda；两式相加，得（ak+ck）bd=abcd+bcda；但ak+ck=ac，因此acbd=abcd+bcda。证毕。 三、 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）.：圆内接四边形abcd，求证：acbdabcdadbc
7、. 证明：如图1，过c作cp交bd于p，使1=2，又3=4，acdbcp.得ac：bc=ad：bp，acbp=adbc。又acb=dcp，5=6，acbdcp.得ac：cd=ab：dp，acdp=abcd。得ac（bpdp）=abcdadbc.即acbd=abcdadbc. 推论 1.任意凸四边形abcd，必有acbdabcd+adbc，当且仅当abcd四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个凸四边形内接于一圆、 推广 托勒密不等式。四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数
8、恒等式：（a-b）（c-d）+（a-d）（b-c）=（a-c）（b-d），两边取模， 得不等式acbd|（a-b）（c-d）|+|（b-c）（a-d）|=abcd+bcad 注意： 1.等号成立的条件是（a-b）（c-d）与（a-d）（b-c）的辐角相等，这与a、b、c、d四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理：在一条线段上ad上，顺次标有b、c两点，那么adbc+abcd=acbd 塞瓦定理 简介 塞瓦（giovanniceva，16481734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的直线论一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。 具体内容 塞瓦定理 在ab
9、c内任取一点o， 直线ao、bo、co分别交对边于d、e、f，那么（bd/dc）x（ce/ea）x（af/fb）=1 证法简介 （）此题可利用梅涅劳斯定理证明： adc被直线boe所截， （cb/bd）x（do/oa）x（ae/ec）=1 而由abd被直线cof所截，（bc/cd）x（do/oa）x（af/fb）=1 ：即得：（bd/dc）x（ce/ea）x（af/fb）=1 （）也可以利用面积关系证明 bd/dc=sabd/sacd=sbod/scod=（sabd-sbod）/（sacd-scod）=saob/saoc 同理ce/ea=sboc/saobaf/fb=saoc/sboc 得bd
10、/dcxce/eaxaf/fb=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点： 设三边ab、bc、ac的垂足分别为d、e、f， 根据塞瓦定理逆定理，因为（ad：db）x（be：ec）x（cf：fa）=（cdxctga）/（cdxctgb）x（aexctgb）/（aexctgc）x（bfxctgc）/（bfxctga）=1，所以三条高cd、ae、bf交于一点。 可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点（重心）：如图5d，e分别为bc，ac中点所以bd=dcae=ec所以bd/dc=1ce/ea=1 且因为af=bf所以af/fb必等于1所以af=fb所以三角形三条中线交于一点 此外，
11、可用定比分点来定义塞瓦定理： 在abc的三边bc、ca、ab或其延长线上分别取l、m、n三点，又分比是=bl/lc、=cm/ma、=an/nb。于是al、bm、cn三线交于一点的充要条件是=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是=-1） 塞瓦定理推论 1.设e是abd内任意一点，ae、be、de分别交对边于c、g、f，那么（bd/bc）x（ce/ae）x（ga/dg）=1 因为（bc/cd）x（dg/ga）x（af/fb）=1，（塞瓦定理）所以（bd/cd）x（ce/ae）x（af/fb）=k（k为未知参数）且（bd/bc）x（ce/ae）x（ga/dg）=k（k为未知参数）又由梅涅劳斯定理得
12、：（bd/cd）x（ce/ae）x（af/fb）=1 所以（bd/bc）x（ce/ae）x（ga/dg）=1 2.塞瓦定理角元形式 ad，be，cf交于一点的充分必要条件是： （sinbad/sindac）x（sinacf/sinfcb）x（sincbe/sineba）=1 由正弦定理及三角形面积公式易证 3.如图，对于圆周上顺次6点a，b，c，d，e，f，直线ad，be，cf交于一点的充分必要条件是： （ab/bc）x（cd/de）x（ef/fa）=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点 设三边ab、bc、ac的垂足分别为
13、d、e、f，根据塞瓦定理逆定理，因为（ad：db）x（be：ec）x（cf：fa）=（cdxctga）/（cdxctgb）x（aexctgb）/（aexctgc）x（bfxctgc）/（aexctgb）=1，所以三条高cd、ae、bf交于一点。 梅涅劳斯定理 梅涅劳斯定理证明 梅涅劳斯（menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与abc的三边ab、bc、ca或其延长线交于f、d、e点，那么（af/fb）（bd/dc）（ce/ea）=1。或：设x、y、z分别在abc的bc、ca、ab所在直线上，那么x、y、z共线的充要条件是（az/zb）x（b
14、x/xc）x（cy/ya）= 证明一： 过点a作agbc交df的延长线于g， 那么af/fb=ag/bd，bd/dc=bd/dc，ce/ea=dc/ag。 三式相乘得：（af/fb）（bd/dc）（ce/ea）=（ag/bd）（bd/dc）（dc/ag）=1 证明二： 过点c作cpdf交ab于p，那么bd/dc=fb/pf，ce/ea=pf/af 所以有af/fbbd/dcce/ea=af/fbfb/pfpf/af=1 它的逆定理也成立。假设有三点f、d、e分别在abc的边ab、bc、ca或其延长线上，且满足（af/fb）（bd/dc）（ce/ea）=1，那么f、d、e三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 梅涅劳斯（men
