1、常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章 奇解第四章 奇解习题4-11求解以下微分方程：(1).2yp24px2x2,(p解：yp22dydx);2pxx2dpppdp2p2x2xdp(p2x)dp(p2x)0(p2x)(1)0.a.p2x0p2x（特解）y2x24x2x2x2(特解）b.dp10x22 dp1pxCy(xC)2(xC)xx2y2Cx12C（通解）dydx(2).ypxlnx(xp)2,(p(lnx2xp)(xdpp)0.);dp22解：pxlnxdpp(lnx1)2xp2xpxa.lnx2xp0lnx2xppln2xxlnx2l
2、nxylnxlnxx(2x2x)y22ln2x4xln42b.xxdpp0pyClnxC2CyC2xlnx(xC)(3).2xp2tanyp3cos2y.解：x1tanyxqtanycos2y2q2p2cos2y,令q1dx,2cosy(siny)2q222qtanydqqsecy2tanydqdyqtanyycos3q2dqcosysiny q22ycos3qdqdy0cosydqtany(dqqtany)(dyqtany)0dyq3cosy(dqqtany)(tanyq3)02a.dqdyqtany0b.tany2dqdyqtanyqCcosyxCsiny3cos3y2C2cos2yq0q
3、22qcosyysinxcosysintanycos2t2cosysin3yy33sin3y2siny2siny2用参数法求解以下微分方程：2(1)2y25(dy)4dx解：令y由pdy2225cost,psintdy2525sint,y2cost,p255sint,x,a.当sint0dxy2sintd(2cost)2522sintdt25sintdtxdtC(xC)2cos(xC)b当sint0cost1y(2).x23(dy2)1.dxshtetetetet,cht,sht22解：令xcht,pdyshtshtshtsh2tdydxd(xht)dtdx333故ysh2t1C81 2t2t
4、(ee2)d(2t)C811t(sh2t)C2422(3).(dy)yx0.dx(e2te2t4t)C解：令xu,pv,yu2v2,dypdx2udu2vdvvdu(2uv)du2vdvdvdu2uv2vuv22uv2u齐次方程令vt,uvt,dvt122t12t1tdvvdt2dvvdttvdvdtvdv22t2t2t12t122t2tdtlnv2t1C22t2t2t12dtC2tt22t112tdt2t2t22t2t2dt2t2t21dt12tdt222(t2(t4)164)162)171d(t11dt1dt2221717172(t14(t12(t1)11171dtln(t)2172416
5、4(t1)1dt12174(t14)(t4164dt4)(t4444)4121(4t412ln|t1t14|1t4)dtt117故2t2dt22ln(t)16t2242ln|t1t1441|.veC1t44t44(t4t4)21211212112C(t)(t)4444令4124,4144114,vC(t)14411411221,vC(t)(t)uC()4v14u()4vC(uv)v1441(uv)v144111441144144111441故11C(uv)(uv)1441(uv)C(uv)C(uv)C(uv)14414144(uv)4(uv)144(uv)C(uv)yx2p2（通解）,(xp)
6、C(xp)特解：22t2t0tyx21u14vu4v41161622222xx(1)x22(1)(1)182191222a.y18x2x2(1)(9)x288x22121x21xax22221 b.y18xx22y1x,故（特解）21yx,dy3(4).x(dy)4x.dydy332(dy)4xxx(4x).dxdxdx令pdydxxt,x3t3x2(4tx),xt34tx,x1t324t4tdyxtd(1)14tt3d(1),y(18t3t3t3)24tx1,t3故（通解）821yC,1t3(1t3)2211t3C习题4-21 利用p-判别式求以下微分方程的奇解：dydy2();dxdxF(
7、x,y,p)xpp2y0x2解：y4x2p0(1).yx而y&ppxdpdp2x为(1)的解，而Fp2p1|x210x|yy4dydy44'2pyx42F20,F|x2xx0,故y为(1)的奇解。4dydy2();dxdxF(x,y,p)2xpp2y0解：yx2不是(2)的解2x2p0(2).y2xdy24)y;dx94（(y1)2p2y0解：y0为(3)的解922(y1)p0(3).(y1)2(Fp'2(y1)p2&Fpp|y0440.992(y1)220,Fp'|0,y0故y0为(3)的奇解。习题4-31试求克莱洛方程的通解及其包络： yxp(p),(p解：通解为y
8、Cx(C),(C)特解为x'(p),y'(p)p(p),p(x),yx(x)(x).判断yx(x)(x)是否为奇解。（是）yCx(C)0,x'(C)C(x)yx(x)(x)x'(C)0.:xC,yyC(C)(C),；x'(C),yC'(C)(C)dy,1)(0,0).dx故通解为yCx(C),(C),特解为x'(p),y'(p)p(p),:x'(C).其中(&(C),'(C)(0,0),(Cdy),&(p)0. dxyC'(C)(C)克莱洛方程的包络。2试求一微分方程，使它有奇解为ysinx解：领xC,ys
9、inC,(xC)2ysinC0,dyysinx,(1,cosC)(0,0),(2(xC)cosx,1)(0,0).dx2(xC)0,(xC)2ysinx0,(cosxp)2(cosxp)22(xC),ysinx.ydy2(xC)cosx0,44dxxpparccospp2故微分方程yxpparccospp2有奇解为ysinx.篇二：试论常微分方程的奇解试论常微分方程的奇解: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求
10、奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential Equation ZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2023, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Professor LI Jian-min Abstract: First order differential equation has a general solution whic
11、h contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment methodWhile whether the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation This paper inten
12、ds to illustrate this problem with several examples Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method.1引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P判别式求奇解
13、的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或
14、者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线,q.在曲线族Vx,y,C0中都有一条曲线KCx通过q点并在该点与相切,而且KCx在q点的某一邻域内不同与,那么称曲线为曲线族Vx,y,C0的一支包络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络（如果它存在的话）一定是奇解;反之,微分方程的奇解（假设存在的话）也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,那么此奇解一定满足两个判别式,即P判别式和C判别式.定理11:设函数F(x,y,p)对(x,y
