1、2023年高考第二轮专题复习教学案：解析几何第1课时 直线与圆考纲指要：直线方程考察的重点是直线方程的特征值主要是直线的斜率、截距有关问题，以及直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题。圆的方程，从轨迹角度讲，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。能借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，特别是弦长问题。考点扫描：1直线方程：(1)倾斜角；(2) 斜率；3直线方程的五种形式。2圆的方程：1圆的标准方程；2圆的一般方程。3.两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 4. 根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。考题先知：例1某校一年级为配合素质
2、教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，镜框对桌面的倾斜角为 (90180)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(ab) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最正确？分析 欲使看画的效果最正确，应使ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值 解 建立如以下图的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x0),欲使看画的效果最正确，应使ACB取得最大值 由三角函数的定义知 A、B两点坐标分别为(acos,asin)、(bcos,bsin),于是
3、直线AC、BC的斜率分别为 kAC=tanXCA=,于是tanACB=由于ACB为锐角，且x0,那么tanACB,当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时ACB取最大值，对应的点为C(,0),因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最正确 点评：解决此题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值 如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值 都将使问题变得复杂起来 例2设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 分析： 将动点的坐标
4、x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系 解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0)直线AB的方程为x=my+a由OMAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法二 设OA的方程为，代入y2=4px得那么OB的方程为，代入y2=4px得AB的方程为，过定点
5、，由OMAB，得M在以ON为直径的圆上O点除外故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法三 设M(x,y) (x0)，OA的方程为，代入y2=4px得那么OB的方程为，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以OA为直径的圆 上，又在以OB为直径的圆 上O点除外，+得 x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 点评：此题主要考查“参数法求曲线的轨迹方程 当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2
6、的讨论 复习智略：例3抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p0) 一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l 2x4y17=0上的点N，再折射后又射回点M(如以以下图所示) (1)设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明 y1y2=p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？假设存在，请求出此点的坐标；假设不存在，请说明理由 分
7、析：此题考查学生对韦达定理、点关于直线对称、直线关于直线对称、直线的点斜式方程、两点式方程等知识的掌握程度 解： (1)证明 由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ的方程为y=k(x) 由式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韦达定理，y1y2=p2 当直线PQ的斜率角为90时，将x=代入抛物线方程，得y=p,同样得到y1y2=p2 (2)解 因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M(x,y)，那么解得直线QN的方程为y=1,Q点的纵坐标y2=1，由题设P点
8、的纵坐标y1=4，且由(1)知 y1y2=p2,那么4(1)=p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x (3)解 将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4)将y=1代入直线l的方程为2x4y17=0,得x=,故N点坐标为(，1)由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y12=0,设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1)又M1(,1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，1)与点M关于直线PN对称 。点评：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时 点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键。 检测评估：1. 假设直线按向量平移后与圆相切，那么
9、的值为( ) A或B或C或D或2.如右图,定圆半径为，圆心为 (), 那么直线与直线的交点在 ( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限xOy中，AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，那么AOB内部和边上整点即横、纵坐标均为整数的点的总数是 A95 B91 C88 D754. 假设曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为 A B C D5. 直线x+y2=0截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为 A B C D6.假设圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,那么直线的倾斜角的取值范围是 .7过点交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为
10、 . 8 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_9、在等差数列中，为首项，是其前项的和，将整理为后可知：点是正整数都在直线上，类似地，假设是首项为，公比为的等比数列，那么点是正整数在直线_上10. 实数满足，且，那么的最小值为 ; 11 设数列an的前n项和Sn=na+n(n1)b，(n=1,2,),a、b是常数且b0 (1)证明 an是等差数列 (2)证明 以(an,1)为坐标的点Pn(n=1,2,)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程 (3)设a=1,b=,C
11、是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围 12某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个适宜的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？点拨与全解：，即，由圆心到直线之距公式得得，选A。2从图知，且，两直线交点为，选C。3.解：由y=10x0x15，xN转化为求满足不等式y10x0x15，xN所有整数yx=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=1
12、4或15时，yB。4.解:与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，应选A。5.解析：如以下图：图由消y得：x23x+2=0，x1=2，x2=1。A2，0，B1，|AB|=2又|OB|OA|=2，AOB是等边三角形，AOB=，应选C。6.解：圆方程化为，所以由得所以直线的倾斜角的取值范围是。7解：可证当CMAB时，ACB最小，从而直线方程，即8 解析 设P(x,y)，依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0 9由等比数列的求和公式得，所以在直线上。10.解：M表示定点-1，-3与圆周上的点连线的斜率，设连线方程为，当时，即时有
13、最小值。 11 (1)证明 由条件，得a1=S1=a,当n2时，有an=SnSn1=na+n(n1)b(n1)a+(n1)(n2)b=a+2(n1)b 因此，当n2时，有anan1=a+2(n1)ba+2(n2)b=2b 所以an是以a为首项，2b为公差的等差数列 (2)证明 b0,对于n2,有所有的点Pn(an,1)(n=1,2,)都落在通过P1(a,a1)且以为斜率的直线上 此直线方程为y(a1)= (xa),即x2y+a2=0 (3)解 当a=1,b=时，Pn的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C外的条件是 由不等式,得r1由不等式，得r或r+由不等式，得r4或r4+再注意到r0,14=+4+故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)(1,)(4+,+) 设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与O相内切，与A、B相外切 建立如以下图的坐标系，并设P的半径为r,那么|PA|+|PO|=(1+r)+(1 5r)=2 5点P在以A、O为焦点，长轴长2 5的椭圆上，其方程为=1 同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圆柱的直径为 cm
