1、第七章 直线和圆的方程知识结构网络7.1 直线方程一、明确复习目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,2.掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式,掌握由一点和斜率导出直线方程的方法;3.能根据条件熟练地求出直线方程.二建构知识网络1.直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0可见,直线倾斜角的取值范围是01802.直线的斜率:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示,即k=ta
2、n90倾斜角是90的直线没有斜率;倾斜角不是90的直线都有斜率,斜率的取值范围是,+3.直线的方向向量:设F1x1,y1、F2x2,y2是直线上不同的两点,那么向量=x2x1,y2y1称为直线的方向向量向量=1,=1,k也是该直线的方向向量,k是直线的斜率.特别地,垂直于轴的直线的一个方向向量为(0,1) 4.直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜成度的。每一条直线都有倾斜角和方向向量,但不是每一条直线都有斜率,要注意三者之间的内在联系。5.直线方程的五种形式点斜式:, (斜率存在)斜截式: (斜率存在)两点式:,(不垂直坐标轴)截距式: (不垂直坐标轴,不过原点)一般式:6过直
3、线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为:A1x+B1y+C1+A2x+B2y+C2=0R(除l2外)。三、双基题目练练手1.直线xtan+y=0的倾斜角是A. B. C. D.2直线xcosy20的倾斜角范围是A, B0,C0, D,3.以下四个命题:经过定点P0x0,y0的直线都可以用方程yy0=kxx0表示;经过任意两个不同的点P1x1,y1、P2x2,y2的直线都可以用方程x2x1xx1=y2y1yy1表示;不经过原点的直线都可以用方程+=1表示;经过定点A0,b的直线都可以用方程y=kx+b表示其中真命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3
4、4.2023北京11假设三点共线,那么的值等于_.5过点A(2,1),且在x,y轴上截距相等的直线方程是 62023北京东城检测直线l1:x2y+3=0,那么直线l1的方向向量a1为_注:只需写出一个正确答案即可;l2过点1,1,l2的方向向量a2,且a1a2=0,那么l2的方程为_.简答:1-3.DBB;3.解析:对命题,方程不能表示倾斜角是90的直线,对命题,当直线平行于一条坐标轴时,那么直线在该坐标轴上截距不存在,故不能用截距式表示直线,只有正确。4.; 5.(x+y=3或y=x/2)强调:截距式的使用范围6.解析:由方向向量定义即得a1为2,1或1,.a1a2=0,即a1a2.也就是l
5、1l2,即k1k2=1.再由点斜式可得l2的方程为2x+y3=0.答案:2,1或1, 2x+y3=0四、经典例题做一做【例1】ABC的三个顶点是A4,1、B0,3、C7,3,(1)求AB边的中线所在直线的方程;(2)求C的一平分线的方程.解(1)由中点公式得AB中点D(2,1),中线CD所在直线的方程为.(2)由两点间距离公式得|AC|=5, |BC|=7.设C的平分线与边AB的交点为E,由三角形内角平分线的性质知E分有向线段AB所成的比=,由定比分点公式得,由两点式方程得,直线CE的方程为:x-2y-1=0.C的平分线的方程为:x-2y-1=0 ().【例2】 两点A1,2、Bm,31求直线
6、AB的斜率k与倾斜角;2求直线AB的方程;3实数m1,1,求直线AB的倾斜角的取值范围解:1当m=1时,直线AB的斜率不存在,倾斜角当m1时,k,当m1时,arctan,当m1时,arctan2当m=1时,AB:x=1,当m1时,AB:y2=x+13当m=1时,;当m1时,k,故综合、得,直线AB的倾斜角,【例3】两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P2,3,求过两点Q1a1,b1、Q2a2,b2a1a2的直线方程分析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答解:P2,3在直线上, 2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=02a1a2+3b1b2=0,即=所求直线方程为
7、yb1=xa12x+3y2a1+3b1=0,即2x+3y+1=0提炼方法:1.由求斜率; 2.运用了整体代入的思想,方法巧妙.【例4】一条直线经过点P3,2,并且分别满足以下条件,求直线方程:1倾斜角是直线x4y+3=0的倾斜角的2倍;2与x、y轴的正半轴交于A、B两点,且AOB的面积最小O为坐标原点解:1设所求直线倾斜角为,直线的倾斜角为,那么2,且tan,tantan2,从而方程为8x15y+6=02设直线方程为1,a0,b0,代入P3,2,得12,得ab24,从而SAOBab12,此时,k方程为2x+3y12=0解法点评:此题2也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值【研讨.欣赏】
8、(2023广东)在平面直角坐标系中,矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合如图5所示.将矩形折叠,使A点落在线段DC上. 假设折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程; 求折痕的长的最大值.解:设点A关于拆痕的对称点E,由于点E在线段DC上,故可设点E的坐标为t,1图3图4图5图6假设,那么“拆痕所在的直线为线段AD的中垂线,它的方程为;假设,由,那么,从而线段AE的中点M的坐标为,故“拆痕所在直线的方程为综上所述,“拆痕所在直线的方程为设“拆痕的长为1当“折痕过AD的中点时如图3,;当“折痕过点B时如图4,由于求得所以,当时,“折痕与
9、y轴及均有交点,分别求得为、此时,由于l是关于k的函数,它在上是减函数,所以,当时,2当“折痕过点D时如图5,所以,当时,“折痕与y轴及轴均有交点,分别求得为、此时,设,那么,由此得:当时,;当时,;当时,所以,或由于,所以,3当“折痕过AC的中点时如图6,求得所以,当时,“折痕与及轴均有交点,分别求得为、此时,由于l是关于k的函数,它在上是增函数,所以,当时,由于,所以“拆痕的长的最大值为五提炼总结以为师1直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的根本量,应正确理解和运用;2.直线方程有五种形式.其中点斜式、两点式、斜截式、截距式都是直线方程的特殊形式,点斜式是最根本的、重
10、要的,其他形式的方程皆可由它推导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义,但又都有一些特定的限制条件,应用时要注意它们各自适用的范围,以防止漏解.常需要分类讨论.3.求直线方程通用的方法是待定系数法;根据所给条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键; 同步练习 7.1 直线方程【选择题】1.直线x2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1,那么k的范围是A.k1 B.k1 C.1k1且k0 D.k1或k12.2023湖南设直线ax+by+c=0的倾斜角为,且sin+cos=0,那么a、b满足A.a+b=1 B.ab=1 C.a+b=0 D.ab=03.平面上直线的方向向量,点O(0,0
11、)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1,那么,其中 ( )A.B.C.2D.2【填空题】4.(2023春上海) 直线过点,且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点,那么三角形面积的最小值为 .5假设直线(m21)xy2m+1=0不经过第一象限,那么实数m的取值范围是 ;6.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率是 ( 1/3) 简答提示:1.解析:令x=0,得y=k;令y=0,得x=2k.三角形面积S=xy=k2.又S1,即k21,1k1.又k=0时不合题意,应选C.2.解析:0180,又sin+cos=0,=1
12、35,ab=0.答案:D; 3.D4.4; 5. (1/2m1);6.解:由于将直线平移不影响其斜率的值,故可设点O(0,0)在直线上,那么依题意O点经平移后的坐标为P(3,1), 故直线l过两点P,O,求出斜率即可【解答题】7.两点A1,2、Bm,31求直线AB的斜率k与倾斜角;2求直线AB的方程;3实数m1,1,求直线AB的倾斜角的取值范围解:1当m=1时,直线AB的斜率不存在,倾斜角当m1时,k,当m1时,arctan,当m1时,arctan2当m=1时,AB:x=1,当m1时,AB:y2=x+13当m=1时,;当m1时,k,故综合、得,直线AB的倾斜角,8.过点P(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A,B两点(1)当AOB面积最小时,求直线的方程;(2)当|PA|PB|取最小值时,求直线的方程解:(1)设所求的直线方程为(a0,b0),由于是=,S AOB=4,当且仅当,即a=4,b=2时取等号,此时直线的方程为,即x+2y4=0(2):设直线:y1=k(x2),分别令y=0,x=0,得A(2,0), B(0,12k) 那么|PA|PB|=4,当且仅当k2=1,即k=1时,取最小值,