1、第十章 第十节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)题组一离散型随机变量的均值问题1.随机变量X的分布列为X210123Pmn其中m，n0,1)，且EX，那么m，n的值分别为 ()A.， B.， C.， D.，解析：由p1p2p61，得mn，由EX，得m，m，n.答案：D2有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，假设X表示取到次品的个数，那么EX等于_解析：X0时，P；X1时，P；X2时，P，EX012.答案：3(2023重庆高考)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为根底设施工程、民生工程和产业建设工程三类这三类工程所含工程的个数分别占总数的，.现有3名工人独立地从中任选一
2、个工程参与建设(1)求他们选择的工程所属类别互不相同的概率；(2)记X为3人中选择的工程属于根底设施工程或产业建设工程的人数，求X的分布列及数学期望解：记第i名工人选择的工程属于根底设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)，P(Bi)，P(Ci).(1)他们选择的工程所属类别互不相同的概率P3！P(A1B2C3)6P(A1)P(B2)P(C3)6.(2)法一：设3名工人中选择的工程属于民生工程
3、的人数为Y，由，YB(3，)，且X3Y，所以P(X0)P(Y3)C()3，P(X1)P(Y2)C()2()，P(X2)P(Y1)C()()2，P(X3)P(Y0)C()3.故X的分布列为：X0123PX的数学期望EX01232.法二：记第i名工人选择的工程属于根底设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i1,2,3.由，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)P(AiCi)P(Ai)P(Ci)，所以XB(3，)，即P(Xk)C()k()3k，k0,1,2,3.故X的分布列是：X0123PX的数学期望EX32.题组二离散型随机变量的方差问题4.设X是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又EX15，D
4、X，那么n与p的值为()A60， B60， C50， D50，解析：由XB(n，p)，有EXnp15，DXnp(1p)，p，n60.答案：B5随机变量X的分布列为X123P0.5xy假设EX=，那么DX等于 （ ）A. B. C. D.解析：由分布列的性质得xy0.5，又EX，所以2x3y，解得x，y.所以DX(1)2(2)2(3)2.答案：B6袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)假设YaXb，EY1，DY11，试求a，b的值解：(1)X的分布列为：X01234PEX01
5、2341.5，DX(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D(Y)a2DX，得a22.7511，即a2.又E(Y)aEXb，当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求题组三离散型随机变量的均值与方差的实际应用7.“好运出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为_元解析：设公司每月对这辆车收入为X元，那么其分布列为：X1002 500P0.20.8故EX(100
6、)0.22 5000.81 980元答案：1 9808利用以下盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是_.自然状况盈利方案概率A1A2A3A4S10.2550702098S20.3065265282S30.4526167810解析：利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：500.25650.30260.4543.7；700.25260.30160.4532.5；200.25520.30780.4545.7；980.25820.30100.4544.6.答案：A39(2023徐州模拟)某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续
7、学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试假设某学生每次通过测试的概率都是1/3.每次测试通过与否互相独立规定：假设前4次都没有通过测试，那么第5次不能参加测试(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望解：(1)记“该生考上大学的事件为事件A，其对立事件为，那么P()C()()3()()4.P(A)1P().(2)该生参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5.P(X2)()2，P(X3)C，P(X4)C()2()4，P(X5)C()()2.故X的分布列为：X2345PEX2345.题组四正态分布问
8、题10设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图像如下列图，那么有()A12，12B12，12C12，12D12，12解析：反映正态分布的平均水平，x是正态曲线的对称轴，由图知12，反映正态分布的离散程度，越大，曲线越“矮胖，说明越分散，越小，曲线越“高瘦，说明越集中，由图知12.答案：A11在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，2)(0)，假设X在(0,1)内取值的概率为0.4，那么X在(0,2)内取值的概率为_解析：在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，2)(0)，正态分布图像的对称轴为x1，X在(0,1)内取值的概率为0.4，可知，随机变量X在(1,2)内取值的概率与X在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量X在(0,2)内取值的概率为0.8.答案：0.812随机变量X服从正态分布N(0，2)，且P(2X0)0.4，那么P(X2)_.解析：P(2X0)0.4，P(2X2)0.8，P(X2)P(X2)0.1.答案：0.1
