1、初中数学背景知识初中数学背景知识 33 33 立体几何探源素立体几何探源素材材 人教新课标版人教新课标版 用心 爱心 专心 立体几何探源 我国古代劳动人民在筑城、堤，挖沟、渠，建仓、囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出一套有关体积、容积计算的方法。这些算法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术卷五中，题为“商功”。实质上，这些算法的原理是建立一条公理和一组特殊的模型，用以计算各种几何体的体积。请看下面一组几何体模型：设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则它的体积 V=abc，这是一条公理。注意，长方体一般是每个面都为矩形的平行六面体，我国古代称之为“长方”。剖分“长方”，得两个“堑
2、堵”；部分“堑堵”，得一个“阳马”和一个“”。这一组模型的外形割补关系，如图一目了然。它们的体积数量关系依次成 6：3：2：1；其中最关键的是“阳马”与“”体积之比为 2：1。我们暂且把这个关键问题搁置起来，先看几例，如何用这一组模型来计算其他几何体体积。例 1 如图 2，求平行六面体体积。将平行六面体右端截下一个堑堵，补到左端，使其成为长方，即可。或者将平行六面体两端分别截下一个堑堵。其体积数为两个堑堵加一个长方，也行。例 2 如图 3，求棱台体积。将棱台截成中央成长方，四边成堑堵，四角成阳马，即可。例 3 如图 4，求圆锥体积。作一个外切棱锥，将棱锥底面正方形，从四角开始，切成圆锥底面圆的
3、外场正 8 边形，正 16 边形相应地从四棱锥上不断地截下一系列，将这些体积累加起来，从四棱锥体积中减去，即可。而四棱锥可截成四个阳马来计算体积。仅此，我们可以看出这组模型在几何体体积计算中的作用，只需我们作适当的分割。关于“阳马”与“”体积之比为 2：1，也可以用分割的方法加以证明。这个证明，是我国魏晋时代著名数学家刘徽给出的，他用正方形分割的阳马、为例，其他情形如法炮制。如图 5，设阳马为黑色，为红色，它们的长、宽、高均为 2 尺。刘徽的论证过程如下：第一步，组合。黑阳马与红组合成长、宽、高各 2 尺的黑一红堑堵。第二步，分割。用平分黑一红堑堵长、宽、高的平面，分割黑一红堑堵。则黑阳马含
4、1 个小立方，2 个小堑绪和 2 个小阳马，它们长、宽、高均为 1 尺；红含 2 个小堑绪和 2 个小，它们的长、宽、高也是 1 尺。第三步，组合。用第二步分割出来的模型进行组合成小立方，其中黑小立方 1 个，黑小堑堵合成的小立方 1 个，红小堑堵合成的小立方 1个，由黑小阳马与红小合成的堑堵 2 个，又可合成一个黑一红小立方 1个，共 4 个小立方。取出黑小立方 2 个，红小立方 1 个，它们体积之和占总体积的 3/4，而黑、红体积之比为 2：1。余下黑一红小堑堵 2 个。第四步，分割。分割余下的黑一红小堑堵，方法同第二步。第五步，组合。与第三步同。注意：每分割 1 个黑一红堑堵之后，通过组
5、合可以取出总体积 3/4 的黑、红小立方，其黑、红体积之比为 2：1，并余下 2 个长、宽、高减半的黑红小堑堵。如此组合，分割，组合，分割以至“半这弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉。”若将每次取出的黑、红小立方累加起来，即可得：刘徽说：“数而求穷之者，谓以情推，不用筹算”。这样无限分割，取其无穷级数和，不仅能证明阳马与体积之比为 2：1，也得到阳马、与立方之间的体积关系：若第一次分割的黑红堑堵的长、宽、高为 a,或分别为 a、b、c，则阳马为，或，而这里 a3 或 abc 正好是立方或长方的体积。所以刘徽最后总结说：“非同一般用器，当阳马长短宽窄不一时，若不用，就不能得知阳马的体积，没有阳马就不能计算锥、台之类立体的体积，可见、阳马是体积计算的最基本的立体模型”。
