1、考纲导读第八章解三角形一正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识网络解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的变形形式余弦定理的变形形式解三角形应用举例测量实习高考导航正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明根底过关第1课时 三角形中的有关问题1正弦定理： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： 两角和一边，求其他两边和一角； 两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步
2、求出其他的边和角2余弦定理： 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 三边，求三角； 两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角3三角形的面积公式： 典型例题例1. 在ABC中，a，b，B45，求角A、C及边c解 A160 C175 c1A2120 C215 c2变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设a、b、c成等比数列，且，那么 A B C D解：B 提示：利用余弦定理2在ABC中，由条件解三角形，其中有两解的是 A.B. C.D. 解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，假设小角求大角，那么有两解；假设大角求小角，那么只有一解3在ABC中，那么的值为 A
3、B C 或 D 解：A 提示:在ABC中，由 知角B为锐角4假设钝角三角形三边长为、，那么的取值范围是 解： 提示：由可得5在ABC中，= 解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得例2. 在ABC中，假设 sinA2sinB cos C， sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状解：sinA2sinBcosCsin(BC)2sinBcosCsin(BC)0BCsin2Asin2Bsin2Ca2b2c2A90 ABC是等腰直角三角形。变式训练2：在ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以ba2b2+ca2c2=bcb+c.所以b+ca2
4、=b3+c3+bcb+c.所以a2=b2bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以ABC是直角三角形.例3. 在ABC中，sinA(sinBcosB)sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C解：由sinA(sinBcosB)sinC0，得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0，所以sinB(sinAcosA)0B(0, ), sinB0, cosAsinA，由A(0, )，知A从而BC，由sinBcos2C0得sinBcos2(B)0cos(2B)cos2(2B)cos(2B)sin2B得sinBsin2B0，亦即sinB2sinBcosB0，由此各cosB，B，CA B
5、C变式训练3：ABC中，2sin2Asin2C=absinB，ABC外接圆半径为.1求C；2求ABC面积的最大值.解：1由2sin2Asin2C=absinB得2=ab.又R=，a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosC=.又0C180，C=60.2S=absinC=ab=2sinAsinB=2sinAsin120A=2sinAsin120cosAcos120sinA=3sinAcosA+sin2A=sin2Acos2A+=sin2A30+.当2A=120，即A=60时，Smax=.例4. 如图，ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G设M
6、GA()(1)试将AGM、AGN的面积分别记为S1与S2表示为的函数；(2)求y的最大值与最小值解 (1) AG， 由正弦定理得，ANCBDMG，(2)当当变式训练4：在在ABC中，所对的边分别为，且1求的值；2假设，求的最大值；解：1因为，故 2 又，当且仅当时， 故的最大值是小结归纳小结归纳1两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意2三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择3对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题根底过关第2课时 应
7、用性问题1三角形中的有关公式正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等；正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；实际问题中有关术语、名称1仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角2方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角典型例题例1(1)某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于 A B C或 D3解：C 提示：利用余弦定理2甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
8、，那么甲、乙两楼的高分别是 A B C D 解：A3一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得A点处的俯角为，那么山的高度为 A B C D 解： B 4轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东方向，B向西偏北方向，假设A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的，过三小时后，A、B的距离是 解：90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向为方位角，A处有灯塔， 其方位角，在C处观测灯塔A的 方位角，由B到C需航行半小时， 那么C到灯塔A的距离是 解：km 提示：由题意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练
9、1：如图，当甲船位于A处时得悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援角度精确到1？北2010ABC解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010cos120=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范
10、围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)假设在时刻t城市O受到台风的侵袭,那么由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故即 解得 答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时变式训练2：如以下图,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在ABC中，BC=3
11、0， 所以 ，由正弦定理可知： 所以，于是A到BC所在直线的距离为所以船继续向南航行无触礁危险。例3. 如以下图，公园内有一块边长的等边ABC形状的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两局部，D在AB上，E在AC上1设AD，ED，求用表示的函数关系式；2如果DE是灌溉水管，为节约本钱希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，那么希望它最长，DE的位置又在哪里？请给予证明解：1在ABC中，D在AB上，SADE=SABC ，在ADE中，由余弦定理得： 2令 ，那么 那么令 ，那么；有最小值，此时DEBC，且 有最大值，此时DE为ABC 的边AB或AC的中线上变式训练3：水渠
12、道断面为等腰梯形，如以下图，渠道深为，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量到达最小，应使梯形两腰及下底之和到达最小，此时下底角应该是多少？解：设 ，那么， 所以 设两腰与下底之和为，那么 当且仅当 时，上式取等号，即当时，上式取等号，所以下角时，梯形两腰及下底之和到达最小例4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？解：设，在AOB中，由余弦定理得： 于是，四边形OACB的面积为 S=SAOB+ SABC 因为，所以当，即时，四边形OACB面积最大变式训练4：如以下图，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，那么 那么BC=4，由得在AEC中，由正弦定理得： 在ABC中，由正弦定理得：在ABE中，由余弦定理得： 所以船速 答：该船的速度为 km/h解三角形章节测试题
