1、目录摘要11 引言11.1 图像压缩的可行性11.2 图像压缩的分类21.3 图像压缩技术的标准21.4 图像压缩技术的发展趋势31.5 傅里叶变换在图像压缩中的应用31.6 评价压缩方法优劣的衡量指标42 傅里叶变换的性质52.1 一维傅里叶变换52.2 二维傅里叶变换92.3二维傅里叶变换的性质92.4 傅里叶变换的矩阵形式103 图像压缩的方法123.1 快速 Fourier 变换（FFT）123.2 快速 Fourier 变换算法的核心思想153.3 快速 Fourier 变换的算法描述163.4 快速 Fourier 变换(FFT)算法的Matlab程序如下:()174 利用MATL
2、AB软件实现图像压缩的应用实例174.1 均方误差MSE的程序174.2 峰值信噪比PSNR（dB）的程序184.3.1 MATLAB程序184.3.2 MATLAB程序194.3.3 MATLAB程序194.3.4 MATLAB程序205 问题讨论快速傅里叶变换的其它应用216 论文总结246.1 论文的创新之处246.2 存在问题及改进设想246.3 心得体会247 结束语24参考文献25英文摘要26附录27 傅里叶变换在医学图像压缩中的应用摘要 本文主要使用傅里叶变换作了一个傅里叶图像分析,图像是一种重要的二维信号,由于其数据量很大,在存储和传输的时候要对其进行压缩处理.鉴于傅里叶变换在
3、医学图像压缩中的应用,利用快速傅里叶变换法编写程序,实现图像的压缩并得到了较好的压缩效果.傅里叶变换除了在图像压缩中的应用外,运用傅里叶变换来计算周期等.最后,讨论了傅里叶变换分析方法更多应用的实例.关键词 傅里叶变换;图像压缩;快速傅里叶变换法;MATLAB程序1 引言目前,对高度图像信息化的研究已经成为热门的课题,图像、图形作为一种重要的信息源,在信息领域的应用也越来越广泛.图像的信息量不仅巨大复杂,而且用语言文字难以描述其内容.随着计算机、软件等技术的高速发展,图像、图形信息技术已经逐步广泛应用于银行、保险、经济、医疗服务、科研、影视、气象、城市规划、建筑设计、公安和军事等社会各个领域.
4、根据实际应用的需要,有必要对图像数据进行压缩处理，这已经发展成为专门的研究领域图像编码.随着因特网技术和多媒体技术的出现,如何有效地组织、存贮、传输和恢复图像数据,成为研究的课题.随着智能手机逐渐普及,中国的医疗现状反映了看病难的问题,为了缓解看病难的问题,通过实施手机查看病例的方法在不远的将来可谓是行之有效的.但由于手机的存储量有限,医学图像所占容量较大,目前的手机还无法轻松实现这种图像的有效传输功能.要实现图像的有效传输,首先应该压缩图像,压缩图像既可以节省空间,又可以减少对带宽的占用.1.1 图像压缩的可行性 图像编码压缩的主要目的是对要处理的图像源的数据按一定的规则进行变换和组合1,从
5、而达到以尽量少的比特数来表征图像,使它符合特定的要求.图像数据可以进行压缩,是因为有以下几个方面的原因:原图像数据之间是高度相关的,可应用某种编码方法来提取或减少这些相关性；图像数据包含有效信息量和冗余量,在存储和传输的时候,可以去除冗余量；图像编码可以有一定的失真.下面更形象地说明图像压缩的可行性,一幅放大后的图像最直接的表示方法如图1：图1 字母啊a是图像表示更为简单的例子,一幅放大了的二值图像如图2：图2 一幅放大了的图片图2是一幅1016的二值图像,若0表示白色,1表示黑色,则图2可以表示如下, （1.1.1）如果在计算机里存储这样的矩阵,将占用较大的内存,当图像更大时,计算机的存储将
6、遇到问题,更不用说,图像在传输过程中和在手机里存储的问题.但当进行图像压缩过后,这个问题就能很好的得到解决.通过行程压缩,得到. （1.1.2）矩阵(1.1.2)相比矩阵(1.1.1),数据量减少了很多,但同样表示了图像.基于此,图像通过某种编码能够得到很好的压缩效果.1.2 图像压缩的分类目前,有许多图像压缩编码的方法,从不同的出发点可进行不同的分类.从信息保真度的角度出发,可分为两类：一类是冗余度压缩法,其特征是较低的压缩比,但又不损失任何数据,可以完全恢复原图像,实现编/解码的互逆,故又称无损压缩.另一类是熵压缩法,由于在压缩的过程中要损失一些人眼不敏感的图像信息,且损失的信息不可恢复,
7、故又称有损压缩.从具体编码技术的角度出发,可分为：预测编码、统计编码、变换编码、轮廓编码等1.1.3 图像压缩技术的标准1） 静止图像压缩标准：JPEG标准&JPEG 2000标准 ；2）运动图像压缩标准：MPEG-X系列&H.26X系列,包括MPEG-1、MPEG-2、MPEG-3、MPEG-4、MPEG-7和MPEG-21,其中,MPEG-21基于“多媒体框架标准”4.MPEG-21的基本框架要素包括：数字项目说明、内容表示、数字项目的识别和描述、内容管理和使用、知识产权管理和保护、终端和网络、事件报告等.它所支持的功能有：实现多种业务模型；对内容进行隐私的尊重等.目前,这个标准仍处于开发
8、中. 1.4 图像压缩技术的发展趋势8,9从国际数据压缩技术的发展趋势可以看出,未来编码的发展趋势是基于内容的图像压缩编码.但是,建立任意形状物体的模型的关键问题还没有解决,严重影响应用的广泛性9.元数据是指详细的描述图像信息的基本元素,通过元数据进行编码也是将来编码的发展方向9.进一步提高压缩比和码流的附属功能也将是未来编码的发展方向.1.5 傅里叶变换在图像压缩中的应用索引图像、灰度图像、RGB图像、二进制图像是MATLAB中的4种基本图像类型,一幅图像包含一个数据矩阵,或者包含一个颜色映像矩阵10.一个的二维矩阵可表示一幅静止的数字化图像,每个点称为一个像素值.如果把矩阵的左上角的像素位
9、置定义为这个矩阵一个参考点,把相邻像素间的距离设为1,则第i行、第j列上的像素值便可表示为,从而,集合,就表示一幅图像.对于二值图像和单色图像,可以表示一个像素,它表示像素的灰度值；但对于彩色图像,每个像素都要由多个分量组成,集合,可以表示其中的一个分量,一幅彩色图像可看成是多个分量的组合.一幅彩色图像的每个像素由三个分量组成,RGB是最常用的分量组合方式10.其中R,G,B分别代表了红、绿、蓝三基色,任何一种颜色均可以由R,G,B三基色的不同取值混合而成.用r,g,b表示红、绿、蓝的单位向量,任何一种颜色均可以由r,g,b的组合构成,即C = Rr + Gg + Bb , （1.5.1）其中
10、.比如,构成白色；,构成黑色等.用图像的RGB表示方法表示一幅数字图像,三基色分量可以写成一个集合. （1.5.2）由于计算机显示系统的储存器结构就是直接的RGB结构,所以RGB表示最常用于计算机的图像和图形表示中.常见的计算机显示系统的图像表示方式有：24位彩色方式、16位彩色方式、8位彩色方式10.无论是彩色图像还是伪彩色图像,压缩前都要表示成R,G,B分量再进行处理.傅里叶变换以傅里叶命名,傅里叶是历史上最伟大的数学家和物理学家.傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号.傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法.傅里叶变换原理表明：任何连续测量的时序
11、信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加.当不得不用数字方式传输图像时,因计算机通常不够快而无法保存图片质量,更成功的努力就是能在减少传输比特量的同时使接收图像的失真减到最小.如果一幅图像由一百万个像素组成,每个像素量化为256级,对某些应用来说这样的位数太多了.若将每2X2个像素用一个像素代替,并赋以四个像素的平均值,则该图像的位数就减少为原来的四分之一.从物理角度看,傅里叶变换是图像从空间域到频率域的转换,其逆变换则是图像从频率域到空间域的转换.因为傅里叶变换的运算量与变换点数N的平方有正比关系,所以,当N较大的时候,运算量也很大,直接应用傅里叶变换进行谱变换是不符合实际的.然而,
12、快速傅里叶变换的出现使得这种情况发生了根本性的变化.图像压缩的过程如图3、4所示：图像傅里叶变换量化编码压缩图像图3 图像压缩图像傅里叶反变换反量化解码压缩图像图4 图像解压缩1.6 评价压缩方法优劣的衡量指标图像压缩是在保证图像质量的前提下,尽量减少图像数据中的数据量10.其首要任务是去掉各种冗余的数据.图像压缩的过程是一个编码的过程.图像解压缩是图像压缩的逆过程.因此,图像压缩方法也称编码方法.评价压缩方法优劣的衡量指标有：1）压缩比：原始图像经A/D转换后未经压缩产生的数据量与经压缩产生的数据量之比.2）图像质量：还原出来的图像质量与原始图像相比的失真度.3）实现难度：实现压缩和还原算法
13、的难易程度.对于有失真的压缩算法,评判压缩后的图像质量的评价准则有两种：一是客观准则,二是主观准则.客观准则是定量计算压缩还原的图像与原图像的误差,平均计算整个图像或图像中指定的区域,得到均方误差.设一个原始图像为,相应的压缩后的还原图像为,误差图像为,那么,均方误差表示为 . （1.6.1）有时也采用均方根误差,即. 和值越小,保真度越好.更常采用的是信噪比表示,基本信噪比定义为 . （1.6.2）另外一种信噪比的定义是先对原始图像去均值,其定义如下： , （1.6.3） . （1.6.4）峰值信噪比(PSNR)也常被采用,设,其中K表示的是一个像素点用的2进制的位数,则 . （1.6.5）
14、在实际应用中,常用,所以在一些文献中,直接取.均方根信噪比越大,保真度越好.主观评价是压缩图像质量的第二种评价准则,表1所列的是两种典型的评价标准.表1 图像质量的主观评价标准得分评价标准1评价标准25 非常好 不会感觉到失真4 好 能感觉到失真,但是没有不舒服感觉3 一般 稍微感觉到不舒服2 较差 不舒服1 差 感觉非常的不舒服记每种得分记为,每种得分的评价人数为,则平均感觉分MOS的主观评价得分为 . （1.6.6）2 傅里叶变换的性质2.1 一维傅里叶变换对于一个连续函数f,如果,则的傅里叶变换定义为, . (2.1.1)针对离散的情形类似的有,我们考虑一个周期为N的离散函数f,则有 . (2.1.2)现在取的形式,则对于每一个,我们有,这是一个以N为周期j为变量的周期函数,正如fk是以N为周期k为变量的函数.因此,离散函数f的傅里叶变换也是离散函数.定义1 记为离散傅里叶变换,一个周期为N的离散函数f到周期为N的离散函数的变换定义为 ,j=0,1,(N-1) .
