1、南通市2023届高三第一次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分1. 集合U=1, 2, 3, 4，M=1, 2，N=2, 3，那么(MN) = 2复数i是虚数单位的虚部为 3设向量a，b满足：，那么 4在平面直角坐标系xOy中，直线与直线互相垂直的充要条件是m= 5函数的最小正周期是 6在数列an中，假设对于nNx，总有2n1，那么= 7抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，那么为整数的概率是 8为了解高中生用输入汉字的水平，随机抽取了局部学生进行每分钟输入汉字个数测试，以下列图是根据抽样测试后的数据绘制的
2、频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是50，150，样本数据分组为50，70，70，90， 90，110，110，130，130，150，样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，那么样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 9运行如以下列图 程序框图后，输出的结果是 k-3？/开始k1S0SS 2kkk -1结束输出SYN第9题图 第8题图 字数/分钟频率组距7510012515050709011013015010关于直线和平面，有以下四个命题：假设，那么；假设，那么；假设，那么且；假设，那么或. 其中假命题的序号是 11函数假设，那么实数a的取值范围是
3、12椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，那么PCPD的最大值为 13设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为aii=1，2，3，4，P是该四边形内任意一点，P点到第i条边的距离记为hi，假设, 那么.类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Sii=1，2，3，4，Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为Hi，那么相应的正确命题是：假设,那么 14在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，假设函数 的零点，那么k= 【填空题答案】1； 2; 32； 4； 5；
4、6； 7； 890； 910； 10 ；11； 124； 13； 140二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15本小题总分值14分在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b2=ac，向量和满足.1求的值；2求证：三角形ABC为等边三角形【解】1由得， 2分又B=(A+C)，得cos(AC)cos(A+C)=， 4分即cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=，所以sinAsinC= 6分【证明】2由b2=ac及正弦定理得，故. 8分于是，所以 或. 因为cosB =cos(AC)0， 所以 ，故 11分由余弦
5、定理得，即，又b2=ac，所以 得a=c.因为，所以三角形ABC为等边三角形. 14分ABCDEF(第16题图)16本小题总分值14分如图，AB平面ACD，DE平面ACD，AC=AD，DE2AB，F为CD的中点1 求证：AF平面BCE；2 求证：平面BCE平面CDE【证明】1因为AB平面ACD，DE平面ACD，所以ABDE.取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为的中点，所以GFEDBA， GFEDBA，从而ABGF是平行四边形，于是AFBG. 4分因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF平面BCE 7分2因为AB平面ACD，AF平面ACD，所以ABAF，即ABGF是矩形，所以AFGF.
6、9分又AC=AD，所以AFCD. 11分而CDGFF，所以AF平面GCD，即AF平面CDE. 因为AFBG，所以BG平面CDE.因为BG平面BCE，所以平面BCE平面CDE 14分17本小题总分值15分设等差数列的前项和为且1求数列的通项公式及前项和公式；2设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？假设存在，求出t和m的值；假设不存在，请说明理由.【解】1设等差数列的公差为d. 由得 2分即解得4分.故. 6分2由1知.要使成等差数列，必须，即，8分.整理得， 11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.故存在正整数t，使得成等差数列. 15分1
7、8本小题总分值15分某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，AB=AC=6km，现方案在BC边的高AO上一点P处建造一个OBCAP第18题图变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y. 1设，把y表示成的函数关系式；2变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？【解】1在中，所以=OA=.所以由题意知. 2分所以点P到A、B、C的距离之和为. 6分故所求函数关系式为. 7分2由1得，令即，又，从而. 9分.当时，；当时, .所以当 时，取得最小值， 13分此时km，即点P在OA上距O点km处. 【答】变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小. 15分19本小题总分值
8、16分椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且. 1求椭圆C和直线l的方程；2记曲线C在直线l下方的局部与线段AB所围成的平面区域含边界为D假设曲线与D有公共点，试求实数m的最小值【解】1由离心率，得，即. 2分又点在椭圆上，即. 4分解 得，故所求椭圆方程为. 6分由得直线l的方程为. 8分2曲线，即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线上，半径为的动圆. 10分由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.设与直线l相切于点T，那么由，得， 12分当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，解方程组得. 14分因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为， 所以切点，
9、由图可知当过点B时，m取得最小值，即，解得. 16分 说明：假设不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分20本小题总分值16分二次函数gx对任意实数x都满足，且令1求 g(x)的表达式；2假设使成立，求实数m的取值范围； 3设，证明:对，恒有【解】 1设，于是所以 又，那么所以. 4分2当m0时，由对数函数性质，fx的值域为R；当m=0时，对，恒成立； 6分当m0时，由，列表：x0减极小增 8分所以假设，恒成立，那么实数m的取值范围是. 故使成立，实数m的取值范围 10分3因为对，所以在内单调递减.于是 12分记，那么所以函数在是单调增函数， 14分所以，故命题成立. 16分附加题局
10、部21【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41几何证明选讲如图，AB是O的直径，C、F为O上的点，且CA平分BAF，过点C作CDAF交AF的延长线于点D. 求证：DC是O的切线.【证明】连结OC，所以OAC=OCA.又因为CA平分BAF，所以OAC=FAC，ABCDDFO于是FAC=OCA，所以OC/AD. 又因为CDAF，所以CDOC，故DC是O的切线 10分 B选修42矩阵与变换变换T是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换，求曲线在变换T作用下所得的曲线方程【解】变换T所对应变换矩阵为，设是变换后图像上任一点，与之对应
11、的变换前的点是，那么，即，代入，即，所以变换后的曲线方程为 10分C选修44参数方程与极坐标此题总分值10分圆和圆的极坐标方程分别为，1把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；2求经过两圆交点的直线的极坐标方程【解】1，所以；因为，所以，所以 5分2将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 化为极坐标方程为，即 10分D选修45不等式证明选讲此题总分值10分，求证：.【解】因为，所以，所以要证，即证， 即证， 即证，而显然成立，故 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤22动点P在x轴与直线l：y3之间的区域含边界上运动，且到点F0，1和直线l的距离之和为41求点P的轨迹C的方程；2过点作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成区域的面积【解】1设Px，y，根据题意，得3y4，化简，得yx2y3
