1、求数列的通项公式之常用方法 湖北省建始县民族高级中学 胡贻富一、观察法例1、写出以下数列的一个通项公式，使它的前几项分别是以下各数：1 ，2 ，3 或，4 ，5 ，6 或二、公式法(1)、数列为等差数列，公差为，那么数列的通项公式，；(2)、数列为等比数列，公比为，那么数列的通项公式，；(3)、数列的前项和为，那么 例2 数列的前项和为，根据以下条件分别求它们的通项.1；2.解：1当时，；当时，显然满足.故数列的通项公式，.2当时，；当时，.显然不满足.故数列的通项公式 例3、正项数列满足，求数列的通项公式.方法一消留当时，.当时，整理得，数列是正项数列，故数列是以首项，公差为2的等差数列，数
2、列的通项公式，.方法二消留根据题意可知，.当时，=，整理得，那么，即.故数列是以为首项，1为公差的等差数列，.故，.三、累加法例4 数列的首项为3，为等差数列且，.假设，求数列的通项公式.解：设等差数列的公差为.，且，解得，.故等差数列的通项公式为，.，.因此，将上面的式子相加得，即，.【题后悟道】对形如或，的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出的关系式.四、累乘法例5 数列中，前项和为.1求，的值；2求数列的通项公式.解：1，解得；2方法一累乘法，解得.当时，.当时，整理得，即.因此，将上面的式子相乘得，即，即，显然满足.故数列的通项公式，.【题后悟道】对形如或，的递推公式求通项公式时
3、，常用累乘法，巧妙求出的关系式.方法二迭代法,.五、构造新数列法例6、P93典例3数列中，求数列的通项公式.解：设，因为 ，.设，那么，数列是以为首项，公比为3的等比数列，那么，那么，.【题后悟道】对形如“的递推公式求通项公式，可将递推公式变形为，设，那么.从而构造等比数列，求出，进一步求出.这种求数列通项公式的方法叫做构造等比数列法。例7 数列中，且.1求，的值；2设，证明：是等差数列.3求数列的通项公式.解：1；.(2)由，且可得，那么又，故数列是首项为0，公差为1的等差数列.3由2知，. ，.六、待定系数法例8 数列为等差数列，.1求数列的通项公式.2记数列的前项和为，假设，成等比数列，
4、求正整数的值。解：1设等差数列的公差为，解得，2由1可得.，成等比数列，.从而. 为正整数，.例9 设等比数列的前项和为，求和.解：设等比数列的公比为，解得或当时，；当时，【题后悟道】假设数列是等差或等比数列，只需构造方程组求出首项、公差、公比，便可写出通项公式.例10倒数变换数列中，求数列的通项公式.解：根据题意得. ，那么.故数列是以为首项，2为公差的等差数列，例11、数列中，求数列的通项公式.解：，那么，令，那么. 故数列是以为首项，1为公差的等差数列，.例12、数列中，求数列的通项公式.方法一：，令，又，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，即，变形为，即，变形为令，那么.故数列是以
5、为首项，-3为公比的等比数列，那么，那么.即数列的通项公式为.方法二：，.令，那么.故数列是以为首项，3为公比的等比数列，那么，变形为，那么，即.令，那么，故数列是以为首项，为公比的等比数列，那么，那么，即，.即数列的通项公式为.方法三：，令，又，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，.令，那么.故数列是以为首项，3为公比的等比数列，那么，由-得，整理得.例13对数变换数列中，求数列的通项公式.解：，那么.故数列是以为首项，2为公比的等比数列，. .14常数变换数列中，求数列的通项公式.解：，即，令，那么，那么.故数列是以为首项，2为公比的等比数列，. ，.例15、数列的前项和为.（1） 求数列的通项公式；（2） 假设，求.解：1，由-得，整理得，两边同除以得，.令，那么. ，那么，故数列是以为首项，1为公差的等比数列，.那么，即.2及可得，.那么由-得，即，7
