1、第十二章圆锥曲线与方程考纲导读1掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程2掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质4了解圆锥曲线的初步应用知识网络圆锥曲线椭圆定义标准方程几何性质双曲线定义标准方程几何性质抛物线定义标准方程几何性质第二定义第二定义统一定义直线与圆锥曲线的位置关系椭圆双曲线抛物线a、b、c三者间的关系高考导航圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的根本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，根本上是两个客观题，一个主观题，分值21分24分，
2、占15%左右，并且主要表达出以下几个特点：1圆锥曲线的根本问题，主要考查以下内容：圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解圆锥曲线的几何性质的应用2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种根本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法3有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的根本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现4求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求
3、较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势第1课时 椭圆根底过关1椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距注：当2a|F1F2|时，P点的轨迹是 当2a|F1F2|时，P点的轨迹不存在(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数，且 的点的轨迹叫椭圆定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 2椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( 0，且 )(2) 焦点在轴上
4、，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足： 3椭圆的几何性质(对,a b 0进行讨论)(1) 范围： x ， y (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： (4) 离心率： ( 与 的比)， ，越接近1，椭圆越 ；越接近0，椭圆越接近于 (5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，那么 ，= (6) 椭圆的参数方程为 4焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r1r22a(2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面积：r1r2 sin2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|r
5、1，|PF2|r2，F1PF2)典型例题例1. 求适合以下条件的椭圆的标准方程：1两个焦点的坐标分别是4，0，4，0，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；2两个焦点的坐标分别是0，2、0，2，并且椭圆经过点； 3长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A-3， 解：23变式训练1：根据以下条件求椭圆的标准方程(1) 和椭圆共准线，且离心率为(2) P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点解：(1) 设椭圆方程，那么其准线为解得所求椭圆方程为(2) ，由，得所求椭圆方程为或例2. 点P(3, 4)是椭圆1 (ab0) 上的一点，F1、F2是它
6、的两焦点，假设PF1PF2，求：(1) 椭圆的方程；(2) PF1F2的面积解：1法一：令F1(C，0)，F2(C，0) PF1PF2， 1即，解得c5 椭圆的方程为 点P3，4在椭圆上， 解得a245或a25 又ac， a25舍去.故所求椭圆的方程为.法二：利用PF1F2是直角三角形，求得c5(以下同方法一)2由焦半径公式：| PF1 |aex334| PF2 |aex332 | PF1 | PF2 |4220变式训练2：Px0,y0是椭圆ab0上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.F1、F2为焦点
7、，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2ar连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点当直线与x轴垂直时，1求椭圆的方程；2求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；3求的最大值和最小值解：1由抛物线方程，得焦点设椭圆的方程： 解方程组 得C-1，2，D1，-2 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称， 2分又，因此，解得并
8、推得 故椭圆的方程为 4分2， 圆过点O、，圆心M在直线上设那么圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，由得解得所求圆的方程为8分3 由假设垂直于轴，那么， ， 9分假设与轴不垂直，设直线的斜率为，那么直线的方程为 由 得 ，方程有两个不等的实数根设，., 11分 = ，所以当直线垂于轴时，取得最大值当直线与轴重合时，取得最小值变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：ABC的周长为22.记动点C的轨迹为曲线W.(1)求W的方程；(2)经过点0, 且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；3点M，0，N0, 1，在()的条件
9、下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：() 设Cx, y, , , , 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. . . W: . (2) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得. 整理，得. 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ，解得或. 满足条件的k的取值范围为 3设Px1,y1,Q(x2,y2),那么x1+x2，y1+y2), 由得. 又 因为， 所以. 所以与共线等价于. 将代入上式，解得. 所以不存在常数k，使得向量与共线.例4. 椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6
10、. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.1求椭圆W的方程；2求证： ()；3求面积的最大值. 解：1设椭圆W的方程为，由题意可知解得，所以椭圆W的方程为4分2解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为得.由直线与椭圆W交于、两点，可知，解得设点，的坐标分别为，,那么，因为，所以，.又因为，所以 10分解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,那么点的坐标为，由椭圆的第二定义可得,所以，三点共线，即10分(3)由题意知 ，当且仅当时“=成立，所以面积的最大值为变式训练
11、4：设、分别是椭圆的左、右焦点. 1假设P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；2是否存在过点A5，0的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？假设存在，求直线l的方程；假设不存在，请说明理由.解：1易知 设Px，y，那么 ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 2假设存在满足条件的直线l易知点A5，0在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为 由方程组依题意 当时，设交点C，CD的中点为R，那么又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立，
12、所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 小结归纳1在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，到达事半功倍之效2由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法步骤是：定型确定曲线形状；定位确定焦点位置；定量由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏3解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是4“设而不求，“点差法等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会5解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视第2课时 双 曲 线根底过关1双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点F
