1、目录【摘要】2【关键词】2【引言】21.应用微分中值定理证明不等式21.1 利用拉格朗日中值定理证明不等式31.2 利用柯西中值定理证明不等式42.应用函数的单调性证明不等式43.应用函数图形的凹凸性证明不等式64.应用函数的极值与最值证明不等式8【结束语】9【参考文献】10【致谢】10【注释】10【附录】10导数在不等式证明中的应用【摘要】对于整个数学知识的学习内容而言，不等式的证明是相当重要的一部分，在证明不等式的时候通常会使用比较法、数学归纳法、分析法等常用的方法。另外，在微积分中导数是最为基本也是最重要的知识点之一，在不等式的证明中引入导数是一个重要的方法，可以解决很多不等式证明上的难
2、题，拥有很高的技巧同时使用起来也是相当灵活。因此在高等数学的学习中利用导数证明不等式是一个重点，并且有助于其它知识的学习。本文中采用案例的方式通过对案例的证明展示如何使用导数证明不等式，进而帮助同学对这个方法的是实际运用有进一步理解。在本文中的案例都是十分经典的数学问题，在解答过程中主要展示了以下几种方法：函数单调性证不等式、函数凹凸性证不等式、微分中值定理的应用、函数极值与最值证不等式。【关键词】导数；不等式；微分中值定理；单调性；凹凸性；【引言】其中导数这个概念首先是被著名数学家费马提出的，其提出导数的目的在于方便研究极值问题，随着时代的发展，导数相关的内容成为了高等数学中最为主要的内容。
3、对于微积分而言，导数是一个最基本的知识点，同时在研究函数性质方面起到很大的作用，而且在处理实际问题方面应用较为广泛。改知识点主要包含了两部分内容，即中值定理以及应用。例如在不等式证明问题中，假如不等式形式繁琐，那么用初级的方法会出现计算量大或者无法分析的问题，而且还不一定能够证明出来；如果用导数分析不等式，将不等式视为函数，使用导数的方法，那么解答就要简单的多了。笔者在文中通过证明例题的方式，通过具体的证明过程向读者展示如何使用中值定理以及函数性质，进而体现了导数在不等式证明中的重要地位。小学、初中和高中阶段均涉及了不等式的教学，其证明方法随着学生们知识 的增加,也呈现了很大的差异。在以往的学
4、习中，通常使用放缩法、比较法、数学归纳法等基础方法证明不等式。通过对导数的学习以及理解，便可通过导数进行不等式证明,利用导数工具进行数学证明可以将不等式证明由难化简。不等式证明中可以利用导数判断函数的单调性、最值、凹凸性以及极值等内容,通过这些将不等式的证明结合起来,进而能够有效证明不等式成立。笔者在文中通过例题进行探讨如何在不等式的证明中使用导数的方法，进而为不等式的证明研究提供一定的借鉴。1.应用微分中值定理证明不等式对于微分中值定理而言，是一个完整的体系，依据具体的应用条件表现为不同的形式，例如罗尔定理主要用于证明零点问题、柯西定理本质为拉格朗日中值定理在两个不同的连续函数中的应用、泰勒
5、级数等。其中证明不等式主要使用拉格朗日定理和柯西定理，泰勒级数应用也比较多。1.1 利用拉格朗日中值定理证明不等式定理1（拉格朗日中值定理） 如果函数y= f (x)满足以下条件（1） 在闭区间a,b上连续（2） 在开区间a,b上可导那么在a,b使得 f=fb-fab-a格朗日中值定理主要表示同一个函数值之差与自变量之差之间的关系，因此可以在不等式或者是其变形式中有函数值以及自变量的差值的情况下使用。例1 证明不等式：b-ablnbab-aa，其中0ab;答：lnba=lnb-lna，不妨令fx=lnx,由于在定义域 0ab中，函数可导，即fx=1x.可以在a,b上使用拉格朗日中值定理，因此
6、a,b，使得f=fb-fab-a=lnb-lnab-a由于f=1， 得 1=lnb-lnab-a，由0ab知1b11a，因此1blnb-lnab-a1a，得b-ablnba0时，01ln1+x-1x0区间上导数存在并连续，故可使用拉格朗日中值定理，有ln1+x=ln1+x-ln1=x1+x，01化简得1ln1+x=1+xx，1ln1+x-1x=1+xx-1x=0，1故原式01ln1+x-1x0 ，那么函数 y=fx 在a,b上单调递增; 如果在a,b内 fx0，那么函数y=fx在a,b上单调递减该证明过程的重点在于分析函数的单调性。可以通过以下处理过程得到函数性质：首先分析函数性质，进而可以得
7、到函数的单调性，通过单调性证明不等式成立，方法简单易掌握。在不等式的问题中使用函数单调性处理证明问题的主要流程为以下三步: （1）构造辅助函数fx，令fx为不等式的左端表达式减右端表达式。 （2）求fx，确定fx的单调区间（3）将fx的极值与定义域区间区间端点处的函数值进行比较。例4 设 fx0，x20，有fx1+x20，x=fx-fx+x20从而说明x在0,+上是单调递增的函数。所以x0=0x10即 fx1+x2(x2+2)，给定x0 。分析：首先构造辅助函数fx=x2+x2-(x2+2)，再求出该函数fx的增减性，最后根据增减性来判断与x2+2的大小关系。证明：设 .当x0 时，, 所以
8、fx在0,+上单调递增，又因为fxf0从而，即。例6 证明不等式：exex-x2(ex+1)，其中x0 。分析：这是一个连续不等式，有两个不等号。首先构造两个辅助函数f (x) =ex-（ex-x2）与gx=(ex-x2)-ex+1，再分别求出两函数f (x)与gx的单调性，最后根据其增减性来判断ex，ex-x2，(ex+1)三者的大小关系。证明：设f (x) =ex-（ex-x2）， gx=(ex-x2)-ex+1。当x0 时，fx=ex-ex+120，因此f (x) 在( 0，+ ) 内单调增；gx=ex-12-1ex+10， gx在( 0，+ ) 内单调增。由于f（x） f（0），gx
9、g0故ex-（ex-x2）0，可得exex-x2(ex-x2)-ex+10，即ex-x2(ex+1)因此exex-x2(ex+1)， x0。可以根据不等式的相关特点，对症下药，使用简便的方法来构造函数。利用函数单调性证明不等式主要思路就是将证明不等式转化为函数单调性的判断。无论是高中还是大学，在不等式中使用单调性进行证明或者确定两个函数的大小关系均十分有效，即便函数的图形再多么的复杂。证明不等式只要两步就可以完成：第一步，将要证明的不等式与函数联系并构造新的函数；第二步，判断新的函数在给定区间内的单调性。3.应用函数图形的凹凸性证明不等式定义2 设函数fx在区间I上定义，若对任x1，x2I，以
10、及任0,1，有fx1+1-x2fx1+1-fx2，则称y=fx为区间I上的凸（凹）函数.通常函数的凹凸性以及其导函数的单调性存在一定的关联。假如导函数在一个区间上呈现单调增的性质，与之对应的是函数在该区间的图形是凸的。在二阶导数存在的情况下，一阶导数连续，可以利用二阶导数的正负进行分析，假设在一个区间上的二阶导数总是小于零的，那么在上述区间上函数图形为凸形，如果二阶导数大于零则函数图形为凹形。设函数fx在区间a,b上有定义，若对a,b上任意两点x1 ,x2 和正数0,1总有fx1+1-x2fx1+1-fx2成立，则fx称为区间a,b上的凸函数。函数的凹凸性是相当有用的，例如在不等式的证明中应用
11、相当广泛，并且不等式的证明最终可以视为一种关于函数性质的研究，因此分析函数的凹凸性也就相当关键了，下文笔者将通过几个例题阐述具体过程。定理3 对函数y=fx在a,b内连续，若fx0，则函数y=fx的图形在a,b内下凸，即对区间a,b上任意两点x1 与x2，有，等号仅在x1=x2时成立。例7 设x0，y0，证明：，且仅在x=y时等号成立。分析：进行恒等变形，两边均乘以1/2，得，分析代数式可以发现不等左边是函数ft=tlnt在两点x，y处的值的平均值，右边是它在中点处的函数值，因此仅需要证明ft0。证明：设ft=tlntt0，其导函数为 f(t)=1+lnt ， x0,+，y0,+，由ft=tl
12、nt的凹凸性可知：，即，故原式成立，且仅在x=y时等号成立。例8 求证不等式： ,其中x0，y0，z0.分析：题目里包含x，y，z三个未知数，然而并没有，那么我们就需要将题目中的不等式进行变形，将不等式两边同乘以2得到，再分别计算xlnx+ylny;ylny+zlnz;(xlnx+zlnz)的凹凸函数。证明：不等式两边同乘以2得到变形得（xx +yy）+（yy+zz）+（ xx+ zz）x（2x+y+z2）+ y（x+2y+z2）+ z（x+y+2z2） 设ft=tlntt0，即 f(t)=1+lnt ，故取x0,+，y0,+，z0,+，由ft=tlnt的凸性可知：，得，即，当x=y时等号成立。同理可以得出：，当y=z时等号成立； ，当x=z时等号成立。 +得：（xx +yy）+（yy+zz）+（ xx+ zz）x（2x+y+z2）+ y（x+2y+z2）+ z（x+y+2z2） 所以即，其中x0，y0，z0.尽管在不等式证明中使用函数凹凸性的方法在大多数情况下步骤相当繁琐，但是在某些情况下却有奇效，可以很方便处理较为复杂的的不等式问题，并且处理过程相当简洁。大多数情
