1、第 44 卷第 2 期2023 年 2 月哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报Journal of Harbin Engineering UniversityVol.44.2Feb.2023不规则三杆张拉整体结构的找形刘贺平,黄文杰,宋健,赖潇亮,罗阿妮(哈尔滨工程大学 机电工程学院,黑龙江 哈尔滨 150001)摘 要:为了获得不规则形态的张拉整体结构,本文提出了一种确定稳定构型的思路,即基于规则张拉整体结构在大部分构件长度不变的条件下,在一定范围内改变其个别构件长度,稳定状态时这些构件的长度最小。通过规则张拉整体结构单元稳定条件分析、非规则三杆张拉整体结构的稳定构型分析、求解思路分析几个方面
2、的研究,获得了具体的构型方法,并通过具体数值求解、仿真分析和搭建实物模型等手段对此方法的正确性进行了验证,证明此方法求得的结构稳态数值的精度较高。为张拉整体结构基于构件变化的找形及机构化分析提供了一种思路。关键词:张拉整体结构;线性迭代法;找形;节点矩阵;连接矩阵;平衡矩阵;稳定性;奇异值分解DOI:10.11990/jheu.202107015网络出版地址:https:/ 文献标志码:A 文章编号:1006-7043(2023)02-0276-08Form-finding of irregular three-bar tensegrity structuresLIU Heping,HUANG
3、 Wenjie,SONG Jian,LAI Xiaoliang,LUO Ani(College of Mechanical and Electrical Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)Abstract:To get a tensegrity structure with irregular form,we propose a new idea to determine the stable configura-tion.It is based on a regular tensegrity struc
4、ture,under the condition that most of the members length is un-changed,with the length of few members changing in a certain range and the length of these members minimized in the stable state.By analyses of stability conditions of regular tensegrity structure elements,stable configuration of irregul
5、ar three-bar tensegrity structure,and solution ideas,a specific configuration method is obtained,and the cor-rectness of the method is verified by numerical solution,simulation analysis and building a real model.It is proved that the steady-state value obtained by this method has higher precision,pr
6、oviding a new idea for shape finding and mechanism analysis of tensegrity structures based on component changes.Keywords:tensegrity structure;linear iteration method;form-finding;nodal matrix;connectivity matrix;equilibri-um matrix;stability;singular value decomposition收稿日期:2021-07-07.网络出版日期:2022-11
7、-04.基金项目:国家自然科学基金项目(51835002,51875111);黑龙江省自然科学基金项目(LH2020E062).作者简介:刘贺平,男,教授,博士生导师;罗阿妮,女,副教授,博士生导师.通信作者:罗阿妮,E-mail:luoani .张拉整体结构通常以离散杆与连续的索构件组成,由于索构件在受压方向的模量为无限小,在结构不合理引起节点受力不平衡的情况下通常会产生坍缩的失稳形式,从而使结构整体无法自行维持一个常态形状1。在张拉整体结构的研究中,构型研究是结构研究中最基础的一步。当前构型分析中,优化分析是主要的研究方向,这些优化构型方法都是基于张拉整体结构静力学或动力学模型平衡准则的算
8、法迭代进行数值求解,这一过程需要大量的计算推导构件变化后的稳定结构形态或基于节点及结构形态变化后以满足各构件的参数变化2,或以动力学算法等进行满足构件变化及构件常数的非线性拟合规划找形3-8。基于此类数值迭代求解出来的构型通常很难获得结构参数与稳定构型的关系,从而无法做进一步的拓扑研究。张拉整体结构的整体轻量化、自平衡等力学特性尤其适合刚度要求不敏感的机器人领域和仿生领域及空间展开结构领域等9-11。正是基于这样的特点,提出许多张拉整体机构。这些张拉整体机构,都是通过少数构件的长度变化,驱动整体运动,从而实现预期功能。在机构运动过程中,整体会连续变化其形状,而且任意时刻的形态都是稳定的,这既满
9、足了机构可控性的要求,也为张拉整体结构的找形提供了一种思路。本文基于规则 3 杆张拉整体单元,选择其 3 根第 2 期刘贺平,等:不规则三杆张拉整体结构的找形斜索中的 2 根作为驱动构件,其长度主动控制变化,第 3 根斜索的长度随动变化,以此来获得稳定不规则 3 杆张拉整体结构。在分析过程中,以随动构件长度最小为确定稳定构型的标准,以结构整体节点受力的系统平衡矩阵的数值分析来进行稳定性的进一步检验,并利用仿真和实体模型来对此构型方法的正确性及相关算法的精度进行验证。1 规则张拉整体单元 规则的 3 杆张拉整体单元结构如图 1 所示。图中,圆柱体代表杆构件、实线代表索构件。此结构包括 3 根杆和
10、 9 条索,其中索构件可以分成 3 类,即上端面索、下端面索和斜索。上下端面由斜索连接并扭转一定角度。当上下端面直径相等时此结构整体外接于圆柱体,结构对称性好,上下端面的 3 根索都围成了正三角形,同类构件的长度和内力相同。如图 1 所示,连接上下端面节点的是杆构件和斜索构件,杆构件承受压力,斜索构件承受拉力,杆构件的内力有把 2 个端面之间距离撑大的趋势,而斜索构件的内力则是抵消这一趋势以保证结构轴向平衡,因此斜索对保持此张拉整体单元的稳定有直接影响。本文将通过斜索长度的变化对结构稳定性的影响来推导张拉整体单元的稳定条件。图 1 规则 3 杆张拉整体单元Fig.1 Regular 3-bar
11、 tensegrity structure斜索的 2 个端点分别位于上下端面。图 1 中,连于节点 n1、n2和 n3的斜索的另一个端点分别为n5、n6、n4。如果保持上下端面正三角形、杆构件与节点的连接关系、杆构件长度都不变,令 2 个端面始终平行,下端面固定不动,上端面绕着中心转动。当斜索长度最短时,此时结构的构型为稳定构型。依据这一思路,可以获得图 1 所示结构的稳定构型条件。当连接于节点 n1、n2和 n3的斜索另一个端点分别固定于 n6、n4和 n5时,也可以利用上述条件和方法,获得稳定构型。如果斜索构件和杆构件的两端节点重合,索杆结构布置不合理,结构也不能保持稳定。因此,规则 3
12、杆张拉整体单元只有 2 种稳定构型,这 2 种构型的区别主要在于斜索和节点的连接关系不同12。同理,规则的 p 杆由 p 根杆构件和 3p 根索构件组成,三类索的数量均为 p,其上下端面水平索都围成正 p 边形。令下端面节点 ni(i=1,2,p)所连杆构件的另一个端点始终为 np+i。依然保持高度、上下端面正多边形、杆构件与节点的连接关系、杆构件长度不变,各斜索长度相同令 2 个端面始终平行,下端面固定不动,上端面可以绕着中心转动。以 n1节点为例,连接节点 n1的杆构件的另一个端点为np+1,连于节点 n1的斜索的另一个端点可以为np+1+j,其中 j 定义为分形参数,j=1,2,p-1,
13、其余节点连接方式顺序类推。这样,规则的 p 杆单元就有 p-1 种稳定构型。图 2 为规则 5 杆张拉整体单元4 种构型简图。图 2 规则 5 杆张拉整体单元 4 种分形Fig.2 Four fractals of regular 5-bar tensegrity element2 规则张拉整体单元的稳定条件分析2.1 数学模型 令 R 为规则张拉整体单元外接圆柱端面半径,h 为其外接圆柱的高度,ra和 rd分别为上下端面正多边形外接圆的半径。设 为同一根杆的2 个端点在下端面上的投影与下端面形心连线的夹角(如图 1 所示),这里称此772哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报第 44 卷角度为单
14、元内转角。规则 p 杆单元的下端面节点坐标为:ni=rdcos2(i-1)p|rdsin2(i-1)p|0|(i=1,2,p)(1)上端面节点坐标为:ni+p=racos2(i-1)p+|rasin2(i-1)p+|h|(i=1,2,p)(2)p 杆单元的杆连接矩阵为:CB=-IPIP|索连接矩阵为:CS=-Ip+01Ip-10|0-Ip0-Ip+01Ip-10|0Ip-jIj0|式中:Ip为 p 阶单位矩阵;j 为前文所述的分形参数。2.2 斜索长度分析 当稳定的张拉整体单元轴向承载时,其运动只有 2 种,即沿着轴线的整体高度的变化和绕着轴线的上下端面间的相对转动。撤除载荷后,此张拉整体单元
15、将反向运动,恢复原来形态。也就是说,在张拉整体单元的大部分构件长度不变的条件下,在一定范围内改变其个别构件长度,稳定状态时的长度最小。下面根据这一思路来分析规则张拉整体单元的稳定条件。图 3 扭转连接斜索以保持结构稳定性Fig.3 Revolve the connected inclined cable to keep structural stability令规则张拉整体单元的上下端面水平索和杆长度不变,只改变斜索长度。这里设斜索长度为lik(表示此斜索两端节点为 ni和 nk),杆长度为lib(表示此杆件两端节点为 ni和 nb)。规则 p 杆张拉整体单元的第 j 种构型中,斜索长度可表示
16、为:lik=ni-nk=racos2(i-j-1)p+|-rdcos2(i-1)p|()2+|rasin2(i-j-1)p+|-(rdsin2(i-1)p|)2+h2|1/2(3)设杆长为 lib,结构的总体高度可表示为:h=lib2-nix,niy-n(i+p)x,n(i+p)y2=lib2-(racos -rd)2+(rasin)2(4)当 i=1 时,将式(4)代入式(3):lik2=ni-nk2=h2+(rd-racos(-2pj)2+(rasin(-2pj)2=lib2+2rard(cos -cos(-2pj)(5)式(5)的右侧表达式包含 2 部分,第 1 部分是常量,第 2 部分才是含有 的变量,这里把式(5)中含有变量的部分提出:f()=cos -cos(-2pj)(6)当式(6)值最小时,斜索长度也达到最小。对式(6)求导,可得:sin -sin(-2pj)=0(7)求解式(7)得:=pj+2(8)由此推断,规则的 p 杆张拉整体单元,只要满足式(8),即可稳定,这一结果与文献13的理论结果相同,也证明了此分析思路是正确的。3 非规则三杆张拉整体结构的稳定构型解析3.
