1、本栏目责任编辑：李雅琪交叉与综合Computer Knowledge and Technology电脑知识与技术第18卷第35期(2022年12月)第18卷第35期(2022年12月)E-mail：http：/Tel：+86-551-65690963 65690964ISSN 1009-3044Computer Knowledge and Technology电脑知识与技术Vol.18,No.35，December2022Matlab软件在时滞混沌系统仿真实验中的应用赵海滨，颜世玉（东北大学 机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 110819）摘要：时滞混沌系统具有非常复杂的动力学行为，在保密通信
2、和图像加密等领域具有广泛的应用前景。对于三种常见的时滞混沌系统：时滞Liu混沌系统、时滞Chen混沌系统和时滞Rssler混沌系统，采用Matlab软件进行数值仿真，给出了对应的脚本程序，并绘制状态变量的二维相图。通过数值仿真，可以使学生对时滞混沌系统有更加直观的认识，加深对时滞混沌系统的理论理解。关键词：时滞混沌；数值仿真；Matlab；仿真实验中图分类号：TP273文献标识码：A文章编号：1009-3044(2022)35-0096-03开放科学（资源服务）标识码（OSID）：1 概述混沌是一种复杂的自然现象，对初始值非常敏感，并具有长期不可预测性和伪随机性等特点，可以用于保密通信和数据加
3、密1-2。在实际的工程系统中，时滞现象是广泛存在的。在混沌系统的微分方程中，添加时滞项后得到的时滞混沌系统具有非常复杂的动力学行为。时滞混沌系统的维数是无穷维的，即具有无穷多个自由度，动力学行为比非时滞混沌系统更加复杂。时滞混沌系统的同步控制是非线性领域研究的热门课题之一3-4。时滞混沌系统提高了混沌系统的复杂度，在保密通信和图像加密等领域都具有广泛的应用前景5。本文对三种常见的时滞混沌系统采用Matlab语言进行数值仿真。三种时滞混沌系统分别是时滞Liu混沌系统、时滞Chen混沌系统和时滞Rssler混沌系统。Matlab软件功能强大，应用广泛，非常适合进行混沌系统的数值仿真6-7。在Mat
4、lab软件中采用函数dde23进行时滞混沌的数值仿真8，给出了对应的脚本程序，采用函数plot绘制状态变量的二维相图。本文将Matlab软件用于时滞混沌系统的实验教学，通过数值仿真，使学生对时滞混沌系统有更加直观的认识，加深对时滞混沌系统的理论理解。2 时滞Liu混沌时滞Liu混沌系统，可以表示为：x?1(t)=x3(t)-ax1(t)+x1(t)x2(t-2)x?2(t)=1-bx2(t)-x21(t-1)x?3(t)=-x1(t-1)-cx3(1)其中，x1，x2和x3为时滞Liu混沌系统的状态变量，t为时间，a，b和c为常数，1和2为延迟时间常数。对于时滞Liu混沌系统，当参数设定为a=
5、0.2，b=0.5，c=0.1，1=0.4和2=0.1时，该系统处于混沌 状 态。当1 t 0时，初 始 值 设 定 为(x1(t),x2(t),x3(t)=(1.0,1.0,1.0)，采用函数dde23进行数值仿真。仿真时间设定为300秒，步长为0.001秒。时滞Liu混沌系统进行数值仿真时，Matlab脚本程序如下：clear;clc;close all;a=0.2;b=0.5;c=0.1;tau=0.4,0.1;history=1;1;1;tf=300;Liu=(t,x,Z)x(3)-a*x(1)+x(1)*Z(2,2);1-b*x(2)-Z(1,1)2;-Z(1,1)-c*x(3);s
6、ol=dde23(Liu,tau,history,0,tf);fs=1000;t=linspace(0,tf,tf*fs);x=deval(sol,t);figure;plot(x(1,:),x(2,:),b);grid on;xlabel(x1(t);ylabel(x2(t);figure;plot(x(1,:),x(3,:),b);grid on;xlabel(x1(t);ylabel(x3(t);在脚本程序中，建立匿名函数Liu，然后采用函数dde23进行数值仿真，通过函数plot绘制状态变量的二维相图。时滞Liu混沌系统中，状态变量x1和x2的二维相图，如图1所示，状态变量x1和x3的
7、二维相图如图2所示。由图1和图2可以看到该系统处于混沌状态。收稿日期：2022-05-05作者简介：赵海滨（1979），男，河北唐山人，博士，讲师，主要研究方向为控制系统仿真技术；颜世玉，讲师，博士。96DOI:10.14004/ki.ckt.2022.2140交叉与综合本栏目责任编辑：李雅琪Computer Knowledge and Technology电脑知识与技术第18卷第35期(2022年12月)第18卷第35期(2022年12月)图1 时滞Liu混沌状态变量x1和x2的二维相图图2 时滞Liu混沌状态变量x1和x3的二维相图3 时滞Chen混沌三维Chen混沌系统，状态方程表示为：
8、x?1(t)=a(x2(t)-x1(t)x?2(t)=(c-a)x1(t)-x1(t)x3(t)+cx2(t)x?3(t)=x1(t)x2(t)-bx3(t)(2)其中，x1，x2和x3为Chen混沌系统的状态变量，a，b和c为常数，t为时间。在Chen混沌系统的第三个微分方程中，添加时滞控制项，得到时滞Chen混沌系统，表示为：x?1(t)=a(x2(t)-x1(t)x?2(t)=(c-a)x1(t)-x1(t)x3(t)+cx2(t)x?3(t)=x1(t)x2(t)-bx3(t)+k(x3(t)-x3(t-)(3)其中，x1，x2和x3为时滞Chen混沌系统的状态变量，t为时间，a，b，
9、c和k为常数，为延迟时间常数。对于时滞Chen混沌系统，当参数设定为a=35，b=3.0，c=18.5，k=3.8和=0.3时，该系统处于混沌状态。对于时滞Chen混沌系统，当 t 0时，系统的初始值设定为(x1(t),x2(t),x3(t)=(1.5,1.5,2.0)，采用函数dde23进行数值仿真。仿真时间设定为40秒，步长为0.001秒。时滞Chen混沌系统的MATLAB脚本程序如下：clear;clc;close all;a=35;b=3;c=18.5;k=3.8;tau=0.3;history=1.5;1.5;2;tf=40;Chen=(t,x,Z)a*(x(2)-x(1);(c-a
10、)*x(1)-x(1)*x(3)+c*x(2);x(1)*x(2)-b*x(3)+k*(x(3)-Z(3,1);sol=dde23(Chen,tau,history,0,tf);fs=1000;t=linspace(0,tf,tf*fs);x=deval(sol,t);figure;plot(x(1,:),x(2,:),b);grid on;xlabel(x1(t);ylabel(x2(t);figure;plot(x(1,:),x(3,:),b);grid on;xlabel(x1(t);ylabel(x3(t);在脚本程序中，建立匿名函数Chen，然后采用函数dde23进行数值仿真，通过函
11、数plot绘制状态变量的二维相图。时滞Chen混沌系统中，状态变量x1和x2的二维相图如图3所示，状态变量x1和x3的二维相图如图4所示，系统处于混沌状态。图3 时滞Chen混沌状态变量x1和x2的二维相图图4 时滞Chen混沌状态变量x1和x3的二维相图4 时滞Rssler混沌三维Rssler混沌系统的状态方程为：x?1(t)=-x2(t)-x3(t)x?2(t)=x1(t)+bx2(t)x?3(t)=b+x1(t)x3(t)-cx3(t)(4)其中，x1，x2和x3为状态变量，t为时间，b和c为常数。当b=0.2，c=5.7时，Rssler系统处于混沌状态。在Rssler混沌的第一个微分方
12、程中添加两个时滞项，可以得到时滞Rssler混沌系统，表示为：x?1(t)=-x2(t)-x3(t)+a1x1(t-1)+a2x1(t-2)x?2(t)=x1(t)+bx2(t)x?3(t)=b+x1(t)x3(t)-cx3(t)(5)其中，x1，x2和x3为时滞Rssler混沌系统的状态变量，t为时间，a1，a2，b和c为常数，1和2为延迟时间常数。97本栏目责任编辑：李雅琪交叉与综合Computer Knowledge and Technology电脑知识与技术第18卷第35期(2022年12月)第18卷第35期(2022年12月)图5 时滞Rssler混沌状态变量x1和x2的二维相图图6
13、 时滞Rssler混沌状态变量x2和x3的二维相图对于时滞Rssler混沌系统，参数设定为a1=0.2，a2=0.5，b=0.2，c=5.7，1=1.0，2=2.0时，系统处于 混 沌 状 态。当2 t 0时，初 始 值 设 定 为(x1(t),x2(t),x3(t)=(3.0,0.3,5.0)时，采用函数 dde23进行数值仿真。仿真时间为300秒，步长为0.001秒。时滞Rssler混沌数值仿真的Matlab脚本程序如下：clear;clc;close all;a1=0.2;a2=0.5;b=0.2;c=5.7;tau=1,2;history=3;0.3;5;tf=300;Rossler=
14、(t,x,Z)-x(2)-x(3)+a1*Z(1,1)+a2*Z(1,2);x(1)+b*x(2);b+x(1)*x(3)-c*x(3);sol=dde23(Rossler,tau,history,0,tf);fs=1000;t=linspace(0,tf,tf*fs);x=deval(sol,t);figure;plot(x(1,:),x(2,:),b);grid on;xlabel(x1(t);ylabel(x2(t);figure;plot(x(2,:),x(3,:),b);grid on;xlabel(x2(t);ylabel(x3(t);在脚本程序中，根据时滞Rssler混沌的状态方
15、程建立匿名函数，然后采用函数dde23进行数值仿真，通过函数plot绘制状态变量的二维相图。时滞Rssler混沌系统中，状态变量x1和x2的二维相图如图5所示，状态变量x2和x3的二维相图如图6所示。由图5和图6可以看到时滞Rssler系统处于混沌状态。5 结论时滞混沌系统具有复杂的动力学行为，在保密通信和图像加密等领域有广泛的应用前景。本文对三种常见的时滞混沌系统采用Matlab软件进行数值仿真。通过Matlab软件的函数dde23进行时滞微分方程的求解，并采用函数plot绘制状态变量的二维相图，给出了对应的脚本程序。时滞混沌系统比较抽象不容易理解。本文将Matlab软件用于时滞混沌系统的实
16、验教学，通过该仿真实验使学生对时滞混沌系统有更加直观的认识，加深对时滞混沌系统的理论理解。参考文献：1 杨文涛,叶欢,李子龙,等.基于一类复混沌系统的图像加密研究J.齐鲁工业大学学报,2021,35(6):73-80.2 方鹏飞,黄陆光,娄苗苗,等.基于四维超混沌系统的彩色图像加密算法J.计算机工程与设计,2022,43(2):361-369.3 陈亚英,姚凤麒.混沌时变时滞系统的有限时间脉冲同步J.湖北民族大学学报(自然科学版),2020,38(4):446-452.4 高俊山,张玉双,邓立为.时滞混沌系统的鲁棒自适应容错同步控制J.计算机仿真,2020,37(6):247-251,261.5 林周彬,罗松江,高俊杰.一种基于忆阻时滞混沌系统的图像加密方法J.仲恺农业工程学院学报,2021,34(2):60-63.6 赵海滨,于清文,刘冲,等.基于Matlab/Simulink的混沌同步控制实验J.实验室研究与探索,2019,38(1):16-19.7 赵海滨,于清文,颜世玉.混沌系统的有限时间投影同步控制仿真实验J.中国现代教育装备,2020(3):15-17.8 吐克孜 艾肯,阿
