1、第 41 卷第 12 期大学物理Vol41 No122022 年 12 月COLLEGEPHYSICSDec 2022收稿日期:20220505;修回日期:20220709基金项目:国家自然科学基金(11864030，11474131);内蒙古自治区自然科学基金(2021LHBS01001);内蒙古师范大学引进高层次人才科研启动资金(2020YJ001);内蒙古自治区优秀人才支持(5909002107);产学合作协同育人(202102084007)项目资助作者简介:石璐洁(2001)，女，内蒙古包头人，内蒙古师范大学物理学系 2019 级本科生通信作者:李喜彬，Email:lxbimnu im
2、nueducnKagome 平面无穷网格上的等效电阻计算石璐洁，尹鳒凯，鲁雯，李丹，李喜彬(内蒙古师范大学 物理与电子信息学院，内蒙古 呼和浩特010022)摘要:采用二维傅里叶变换的方法，计算了规则联结的 Kagome 电阻网络上任意两个节点之间的等效电阻，并利用 Math-ematica 软件进行了数值计算关键词:等效电阻;Kagome 网格;傅里叶变换;数值计算中图分类号:O 4-1文献标识码:A文章编号:1000-0712(2022)12-0081-04【DOI】1016854/jcnki1000-0712220228具有周期结构的无穷大电阻网络曾是世界性难题，Krizysztof G
3、iaro 创造性地利用二维傅里叶(Fou-rier)变换法成功地给出了正方形网格上任意两节点之间的等效电阻1，2 这种方法目前已经被推广到矩形网络3、三角网络4、六边形网络5 等 文献6，7 分别研究了 mn 阶电阻网络的等效电阻，文献8 研究了多边形电阻网络的等效电阻 电阻网络等效电阻的研究已经取得很大进展Kagome 结构是由三角形和正六边形规则的重复排列构成 由于其特殊的拓扑性质，一直被凝聚态尤其是拓扑材料等领域所关注9 Kagome 网络同样具有周期性结构，对于此种网络等效电阻的计算有助于更好地理解它的拓扑性质 本文利用二维傅里叶变换法计算了 Kagome 网络结构上任意两点间的等效电
4、阻，并利用 Mathematica 软件给出了数值结果1无穷格点上等效电阻的计算为了方便描述此种网格结构，在 Kagome 平面建立如图 1 所示的 坐标系 根据 Kagome 平面临近格点的排布方式，我们将格点分类，再讨论不同的类型格点之间的等效电阻 首先定义所有偶数构成的集合 E(even)以及奇数构成的集合 O(odd)那么Kagome 晶格上的格点可分为 A、B、C 三类:A=(i，j)|iE，jE，B=(i，j)|iO，jE，C=(i，j)|iE，jO(1)根据这种分类方式，可以得到如下代数关系图 1Kagome 晶格及其坐标(O1、O2为 2个对称轴，r 邻近格点之间电阻)定理 1
5、:如果(i，j)A，则(i+1，j)B，(i，j+1)C;如果(i，j)B，则(i+1，j)A，(i+1，j+1)C;如果(i，j)C，则(i，j+1)A，(i+1，j+1)B为了求得坐标为(a，b)，(m，n)的两个节点之间的有效电阻，假设大小为 I 的电流从(a，b)点流入并从(m，n)点流出，那么电流可以表示为I(i，j)=IiajbIimjn=I，(i，j)=(a，b)，I，(i，j)=(m，n)，0，others(2)其中 ij表示克罗内克符号从上文的分析可以发现，两节点间的等效电阻不仅取决于格点之间的相对坐标，而且还依赖于格82大学物理第 41 卷点的种类 现在定义相对坐标为(m，
6、n)的 X 类与 X类两个节点之间的等效电阻为 XXm，n，其中 X，X=A，B，C 下面针对不同类型的节点进行求解11AA类型等效电阻的计算对于此种类型的等效电阻的计算，首先令电流从(0，0)点流入并从(m，n)A 点流出，则电流可以表示为 I(i，j)=Ii0j0Iimjn 由基尔霍夫电流公式10，分别考虑通过 3 类格点的电流，设(i，j)A，(k，l)B，(p，q)C，于是得到以下方程组:1rV(i，j)V(i1，j)+1rV(i，j)V(i+1，j)+1rV(i，j)V(i，j1)+1rV(i，j)V(i，j+1)=I(i，j)，1rV(k，l)V(k1，l)+1rV(k，l)V(k
7、+1，l)+1rV(k，l)V(k1，l+1)+1rV(k，l)V(k+1，l1)=0，1rV(p，q)V(p，q1)+1rV(p，q)V(p，q+1)+1rV(p，q)V(p+1，q1)+1rV(p，q)V(p1，q+1)=0(3)整理得到4V(i，j)=rIi，j+V(i1，j)+V(i+1，j)+V(i，j1)+V(i，j+1)，4V(k，l)=V(k1，l)+V(k+1，l)+V(k1，l+1)+V(k+1，l1)，4V(p，q)=V(p，q1)+V(p，q+1)+V(p+1，q1)+V(p1，q+1)(4)设无穷远处的节点电势为零，定义电势的傅里叶变换为F1(x，y)=(i，j)AV
8、(i，j)ei(ix+jy)，F2(x，y)=(k，l)BV(k，l)ei(kx+ly)，F3(x，y)=(p，q)CV(p，q)ei(px+qy)(5)则电流的傅里叶变换为(i，j)AI(i，j)ei(ix+jy)=I(1 ei(mx+ny)，(k，l)BI(k，l)ei(kx+ly)=(p，q)CIpqei(px+qy)=0(6)对 A 类格点(i，j)A 进行傅里叶变换:4(i，j)AV(i，j)ei(ix+jy)=r(i，j)AIi，jei(ix+jy)+(i，j)AV(i 1，j)ei(i1)x+jy eix+(i，j)AV(i+1，j)ei(i+1)x+jy eix+(i，j)AV
9、(i，j 1)ei x+(j1)y eiy+(i，j)AV(i，j+1)ei ix+(j+1)y eiy=Ir(1 ei(mx+ny)+(i，j)BV(i，j)ei(ix+jy)(eix+eix)+(i，j)CV(i，j)ei(ix+jy)(eiy+eiy)(7)即4F1(x，y)=Ir(1ei(mx+ny)+2F2(x，y)cos x+2F3(x，y)cos y(8)对于 B 类格点(k，l)B 的傅里叶变换为4F2x，y()=4k，l()BV(k，l)ei(kx+ly)=(k，l)BV(k 1，l)ei(k1)x+lyeix+(k，l)BV(k+1，l)ei(k+1)x+lyeix+(k，
10、l)BV(k 1，l+1)ei(k1)x+(l+1)yei(xy)+(k，l)BV(k 1，l+1)ei(k1)x+(l+1)yei(xy)=2F1(x，y)cos x+2F3(x，y)cos(x y)(9)同理，对 C 类格点(p，q)C 的傅里叶变换为4F3(x，y)=2F1(x，y)cos y+2F2(x，y)cos(xy)(10)联立式(8)式(10)，解得F1(x，y)=Ir41ei(mx+ny)()4cos2(xy)4cos2xcos2ycos2(xy)cos xcos ycos(xy)(11)可以通过对 F1(x，y)在第一布里渊区上的积分得到(i，j)点的电势(设无穷远处的节点
11、电势为零):V(i，j)=12()2F1(x，y)ei(ix+jy)dxdy(12)于是(0，0)以及(m，n)两点的电势分别为:V(0，0)=Ir4(2)21 eimx+ny()()4 cos2x y()4 cos2x cos2y cos2x y()cos xcos ycos(x y)dxdy(13)第 12 期石璐洁，等:Kagome 平面无穷网格上的等效电阻计算83V(m，n)=Ir4(2)2eimxny()1()4 cos2x y()4 cos2x cos2y cos2(x y)cos xcos ycos(x y)dxdy(14)那么，最终得到相对坐标为(m，n)的 2 个 A 类格点
12、之间的等效电阻为AAm，n=V(0，0)V(m，n)I=r824 cos2(x y)1 cos(mx+ny)4 cos2x cos2y cos2(x y)cosxcosycos(x y)dxdy=r624 cos2(x y)1 cos(mx+ny)3 cos2x cos2y cos 2(x y)dxdy(15)现在来看 2 个 B 类格点之间的电阻 假设电流从(1，0)点流入并从(m，n)点流出，重复以上的计算过程，得到等效电阻的表达式为BBm1，n=V(1，0)V(m，n)I=r824 cos2(x y)1 cos(m 1)x+ny4 cos2x cos2y cos2(x y)cos xco
13、s ycos(x y)dxdy(16)事实上两个 B 类格点之间的电阻与 2 个 A 类格点之间的电阻彼此等价，这是因为如果(m，n)B，则有(m1，n)A 同理，2 个 C 类格点之间的电阻同样与 2 个 A 类格点之间的电阻彼此等价 因此对于 2 个相同类型格点之间的等效电阻，只需用式(15)计算即可，不需要再分开讨论12AB类型等效电阻的计算对于此种情况，假设电流从(0，0)点流入并从(m，n)B 点流出，则电流的表达式为 Ii，j=Ii0j0Iimjn 此时格点电流的傅里叶变换可以表示成(i，j)AI(i，j)ei(ix+jy)=I，(k，l)BI(k，l)ei(kx+ly)=Iei(
14、mx+ny)，(p，q)CI(p，q)ei(px+qy)=0(17)重复上一节的计算过程，得到关于傅里叶变换后的变量的方程组为4F1(x，y)=Ir+2F2(x，y)cos x+2F3(x，y)cos y，4F2(x，y)=Irei(mx+ny)+2F1(x，y)cos x+2F3(x，y)cos(xy)，4F3(x，y)=2F2(x，y)cos y+2F2(x，y)cos(xy)(18)解得F1(x，y)=Ir44cos2(xy)ei(mx+ny)2cos x+cos ycos(xy)4cos2xcos2ycos2(xy)cos xcos ycos(xy)(19)F2(x，y)=Ir42co
15、s x+cos ycos(xy)ei(mx+ny)(4cos2y)4cos2xcos2ycos2(xy)cos xcos ycos(xy)(20)利用傅里叶逆变换可以得到两点之间的等效电阻为ABm，n=V(0，0)V(m，n)I=1(2)2IF1(x，y)F2(x，y)ei(mx+ny)dxdy=r4(2)28 cos2y cos2(x y)2cos(mx+ny)2cos x+cos ycos(x y)4 cos2x cos2y cos2(x y)cos xcos ycos(x y)dxdy(21)需要注意的是，ABm，n与 ABn，m二者并不相等，这是因为(m，n)B 则(n，m)C 不过在
16、计算 A、C 两类格点之间等效电阻时，可以发现如下关系:ACm，n=ABn，m，这是因为这两类格点关于 O2对称(见图 1)所以 A、C 两类格点之间的电阻可以通过等式 ACm，n=ABn，m以及式(21)求得 最后来看 BC类型的等效电阻，令电流从(0，1)流入并从(m，n)B 点流出，其积分表达式为 BCm，n1=ACm+1，n1，从旋转对称性(等价于逆时针旋转 120)或关于 O1轴对称性的角度也可以分析出此结果 因此对于 XX的 3 种情况，我们只需用式(21)即可，不过需要对指标进行相应的调整2数值结果根据前文的分析，我们是通过 X 与 X的类型来求得的等效电阻，即如果 X=X则利用式(15)，如果XX则利用式(21)此为一种角度，另外一种角度则是通过 m+n 的奇偶性来进行分类:如果m+n=偶数则利用式(15)，如果 m+n=奇数则利用式(21)需要补充的是，对于 m+n=奇数的情况，如果 n 为奇数，需要对 m 和 n 交换次序再利用式(21)才能求得正确的等效电阻对于式(15)与式(21)这 2 个二重积分，由于形84大学物理第 41 卷式 较 为 复 杂，无 法 继
