1、一九九九年全国高中数学联合竞赛第一试(10月10日上午8:00-9:40)一选择题：（每题6分）1给定公比为q(q1)的等比数列an，设b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 , ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n , 那么数列bn ( )(A)是等差数列 (B)是公比q为的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列2平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|1)2+(|y|1)20恒成立，试求的取值范围。四、（此题总分值20分）给定A（2，2），B是椭圆+=1上的动点，F是左焦点，当|AB|+|BF|取最小值时，求B的
2、坐标。五、（此题总分值20分）给定正整数n和正数M，对于满足条件a21+a2n+1M的所有等差数列a1，a2，a3，试求S=an+1+an+2+a2n+1的最大值。第二试一、(总分值50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G求证：GAC=EAC.二、(总分值50分)给定实数a，b，c，复数z1，z2，z3满足：求|az1+bz2+cz3|的值三、(总分值50分)给定正整数n，用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码
3、的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。一九九九年全国高中数学联赛解答第一试一选择题：（每题6分）1给定公比为q(q1)的等比数列an，设b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 , ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n , 那么数列bn ( )(A)是等差数列 (B)是公比q为的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列解：由题设，an=a1qn1 ，那么=q3因此，bn是公比为q3的等比数列应选C2平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|1)2+(|y|1)22的整点(x，y)的个数是( )（A）16 （B）17 （C
4、）18 （D）25解：由（|x|1)2+(|y|1)22d，这不可能；故P在双曲线的左支，那么|PF2|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d两式相加得2|PF2|=2a+2d又|PF2|=ed,从而ed=a+d故d=16因此，P的横坐标为16=5、直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是 解：设倾斜角为，那么tan=0不妨设a0，那么b0(1)c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复(3x3y=0,2x2y=0与xy=0为同一直线)，故这样的直线有332=7条；(2)c0，那么a
5、有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有334=36条从而，符合要求的直线有7+36=43条6、三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角HABC的平面角等于30，SA=2，那么三棱锥SABC的体积为 解：由题设，AH面SBC作BHSC于E由三垂线定理可知SCAE，SCAB故SC面ABE设S在面ABC内射影为O，那么SO面ABC由三垂线定理之逆定理，可知COAB于F同理，BOAC故O为ABC的垂心又因为ABC是等边三角形，故O为ABC的中心，从而SA=SB=SC=2因为CFAB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线
